6.6. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного

Определения и обозначения

Замена неизвестного — введение новой переменной вместо повторяющегося выражения, чтобы свести исходное неравенство к более простому. Например, в выражении x⁴ − 5x² + 4 можно заменить x² на t. Это нужно, чтобы вместо четвёртой степени получить квадратное неравенство.

Допустимые значения новой переменной — значения, которые может принимать выражение, выбранное для замены. Если t = x², то t ≥ 0, потому что квадрат не бывает отрицательным. Это ограничение не позволяет включить в решение значения t, которым не соответствует ни одно исходное x.

Обратная замена — возвращение от найденных значений новой переменной к значениям исходной неизвестной. Если после решения получилось t < 1, а t = x², нужно решить x² < 1. Такой переход переводит ответ в переменную, которая была в исходной задаче.

Простейшее неравенство — неравенство, которое можно решить непосредственно после замены, например квадратное относительно новой переменной. К нему обычно сводят более сложное выражение с повторяющимися частями. Тогда его корни и знаки помогают найти нужные промежутки.

Как это устроено

Подходящую замену ищут по повторяющейся части выражения. Если одинаковое выражение встречается несколько раз, его можно обозначить одной буквой и рассматривать как целое. Например, x⁴ − 5x² + 4 устроено как квадратное выражение относительно x². Замена сработает, если после неё число разных частей уменьшится и решение станет привычнее.

Решить неравенство только относительно новой переменной недостаточно, потому что замена не обязательно может принимать любые значения. При t = x² значения t < 0 невозможны, а при t = 2ˣ невозможны t ≤ 0. Если оставить их в ответе, дальнейшая обратная замена либо окажется бессмысленной, либо даст лишние случаи. Поэтому ограничение на t записывают до решения и учитывают вместе с его результатом.

Сначала обозначьте повторяющееся выражение новой переменной, например t = x², а затем укажите её допустимые значения. После этого перепишите неравенство целиком через t и решите его привычным способом: найдите корни, если они есть, и определите подходящие промежутки. Такой порядок отделяет решение простой части от ограничений, связанных с исходным выражением. Полученный ответ для t нужно пересечь с допустимой областью.

Для обратного перехода вместо t подставляют исходное выражение и решают неравенство относительно x. Если было t = 2ˣ, используют свойства показательной функции; если t = x², решают условие с квадратом, учитывая и положительные, и отрицательные x. Именно на этом шаге ответ возвращается к исходной неизвестной. Когда функция монотонна, её свойства помогают верно перевести границы промежутка.

В конце проверьте, что учтены область определения исходного выражения и все ограничения, появившиеся при замене. Например, в x + 1/x значение x = 0 запрещено ещё до преобразований. Если решение распадается на несколько промежутков, их нужно записать как объединение, не теряя границ и точек равенства. Проверка подстановкой отдельных значений из ответа и вне его помогает заметить ошибку со знаком.

Замена неизвестного: выбор и обратный переход

В таблице приведены типичные замены и ограничения, которые следуют из свойств выражений. Для x² − 5x + 6 граница −¼ получается из минимума квадратичной функции: x² − 5x + 6 = (x − 5/2)² − ¼. Пользуйтесь последним столбцом после решения: он подсказывает, как перевести ответ из t обратно к x.

Разбор задач

Задача 1. Решите неравенство x⁴ − 5x² + 4 > 0.

1. В выражении повторяется x², а x⁴ = (x²)², поэтому положим t = x². Так многочлен станет квадратным относительно t; при этом t ≥ 0.
2. Получим t² − 5t + 4 > 0. Корни квадратного трёхчлена — 1 и 4, а ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при t < 1 или t > 4.
3. Пересечём эти промежутки с условием t ≥ 0: 0 ≤ t < 1 или t > 4. Теперь вернёмся к x: x² < 1 означает −1 < x < 1, а x² > 4 означает x < −2 или x > 2.

Ответ: x ∈ (−1, 1) ∪ (−∞, −2) ∪ (2, ∞). Границы не входят в ответ, потому что исходное неравенство строгое.

Задача 2. Решите неравенство 2²ˣ − 5·2ˣ + 6 ≤ 0.

1. Повторяется 2ˣ, а 2²ˣ = (2ˣ)², поэтому введём t = 2ˣ. Показательная функция принимает только положительные значения, значит t > 0.
2. Получим квадратное неравенство t² − 5t + 6 ≤ 0. Его корни — 2 и 3; поскольку ветви параболы направлены вверх, подходят значения между корнями, включая их: 2 ≤ t ≤ 3.
3. Подставим обратно: 2 ≤ 2ˣ ≤ 3. Функция 2ˣ возрастает, поэтому сохраняем направление неравенств и получаем 1 ≤ x ≤ log₂ 3.

Ответ: x ∈ [1, log₂ 3]. Концы включены, поскольку в условии стоит знак ≤.

Задача 3. Решите неравенство (x + 1/x)² − 5(x + 1/x) + 6 ≤ 0 при x > 0.

1. Одинаковая часть x + 1/x встречается дважды, поэтому положим t = x + 1/x. При x > 0 выражение определено и t ≥ 2: это следует из неравенства x + 1/x ≥ 2.
2. Получим t² − 5t + 6 ≤ 0. Корни равны 2 и 3, поэтому 2 ≤ t ≤ 3. Нижняя граница уже согласуется с допустимыми значениями t.
3. Вернёмся к x: 2 ≤ x + 1/x ≤ 3. Левая часть верна для всех x > 0, а правая при умножении на положительное x равносильна x² − 3x + 1 ≤ 0.
4. Корни этого трёхчлена равны (3 − √5)/2 и (3 + √5)/2. Парабола направлена вверх, поэтому подходят значения между корнями; оба корня положительны и отвечают условию x > 0.

Ответ: x ∈ [(3 − √5)/2, (3 + √5)/2]. Деление на x допустимо, поскольку по условию x > 0.

Типичные ошибки

Решают неравенство относительно новой переменной, но забывают её допустимые значения. Так, при t = x² в ответ могут ошибочно включить t < 0, хотя квадрат неотрицателен. Ошибка возникает, когда замену считают обычным переименованием переменной; проверяйте решение пересечением с ограничением на t.

Иногда не проверяют область определения заменяемого выражения и допускают, например, x = 0 в x + 1/x. Это происходит, если внимание сосредоточено только на преобразовании неравенства. До замены выпишите, где исходное выражение определено, а затем убедитесь, что итоговые значения этим условиям удовлетворяют.

При обратном переходе можно неверно учесть монотонность или знак выражения. Например, из промежутка для 2ˣ нельзя переходить к x, не зная, возрастает функция или убывает; при умножении на неизвестное число также нужно знать его знак. Проверяйте направление неравенства и условия операции, а при квадратном условии рассматривайте обе ветви.

Ещё одна ошибка — оставить только часть равносильных преобразований и считать полученное множество окончательным ответом. Причина в том, что промежуточный ответ для t принимают за ответ исходной задачи. После обратной замены проверьте границы и несколько значений в исходном неравенстве: каждое значение ответа должно подходить, а неподходящее не должно оставаться.

Связь с другими темами

Для работы с заменой нужно уметь решать квадратные и простейшие показательные неравенства: именно они часто получаются после введения новой переменной. Также важно находить область определения и диапазон значений выражения, чтобы правильно задать допустимые значения t. Эти навыки помогают не терять ограничения при преобразованиях.

Приём применяют к любым неравенствам с повторяющимися выражениями, в том числе к показательным и логарифмическим. Замена может превратить сложную запись в знакомое квадратное неравенство, а свойства исходной функции помогают выполнить обратный переход. Поэтому этот способ связывает алгебраические преобразования с изучением свойств функций.

Что запомнить

• Замена должна упрощать неравенство.
• Всегда записывайте допустимые значения новой переменной.
• Решите неравенство сначала относительно новой переменной.
• Вернитесь от новой переменной к исходной неизвестной.
• Учитывайте область определения и монотонность при обратном переходе.
• Проверьте, что каждый элемент ответа удовлетворяет исходному неравенству.