6.5. Простейшие логарифмические неравенства

Определения и обозначения

Простейшее логарифмическое неравенство — это неравенство вида logₐ x > b, logₐ x < b или с противоположными знаками, где основание a и число b заданы. Неизвестным обычно является аргумент x. Такое определение помогает сразу увидеть, что нужно сравнить логарифм с числом и можно перейти к сравнению x со степенью основания.

Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1: a > 0, a ≠ 1. Это условие нужно проверить до решения, потому что логарифм с неположительным основанием или основанием 1 не определён. Кроме того, от того, больше a единицы или меньше, зависит направление сравнения после перехода к степеням.

Область допустимых значений логарифма logₐ x задаётся условием x > 0. Область допустимых значений, или ОДЗ, — это значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Проверка ОДЗ не позволяет включить в ответ числа, для которых исходного логарифма не существует.

Решение неравенства — все значения переменной из ОДЗ, при которых исходное неравенство верно. Иными словами, нужно не только получить подходящее сравнение со степенью aᵇ, но и оставить лишь допустимые значения x. Поэтому ответ может быть пересечением двух условий.

Как это устроено

Неравенство logₐ x > b сводят к сравнению x с aᵇ, потому что логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить x. Например, logₐ x > b означает, что показатель, дающий x, сравнивается с b. Переход к степеням использует взаимную обратность логарифма и показательной функции с тем же основанием.

При a > 1 показательная функция y = aˣ возрастает: если показатель становится больше, значение степени тоже увеличивается. Поэтому из logₐ x > b следует x > aᵇ, и знак сравнения сохраняется. Для строгого неравенства logₐ x < b соответственно получаем x < aᵇ.

При 0 < a < 1 показательная функция убывает: увеличение показателя уменьшает значение степени. Из-за этого порядок значений при переходе от показателей к степеням меняется. Например, logₐ x > b равносильно x < aᵇ, а не x > aᵇ.

Для знака «меньше» действует то же правило монотонности, а не отдельный способ решения. При a > 1 неравенство logₐ x < b превращается в x < aᵇ, при 0 < a < 1 — в x > aᵇ. Если вместо строгого знака стоит ≥ или ≤, равенство сохраняется в обеих частях сравнения.

После перехода к сравнению с aᵇ нужно проверить ОДЗ. Если аргумент — просто x, это условие x > 0; если внутри логарифма стоит выражение, положительным должно быть всё выражение. Итоговый ответ получают, оставляя только значения, которые удовлетворяют и преобразованному неравенству, и ОДЗ.

Решение простейших логарифмических неравенств

Найдите столбец по основанию: возрастает ли показательная функция или убывает. Затем выберите строку с нужным знаком и запишите соответствующее сравнение. Условие x > 0 нужно учитывать в любом случае, а при выражении вместо x — заменить его условием положительности этого выражения.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство log₂ x > 3. Основание 2 больше единицы, значит, показательная функция возрастает и знак сохранится. После перехода к степеням сравним x с 2³, а затем проверим, что ответ не нарушает условие x > 0.

1. Основание удовлетворяет условию 2 > 1.
2. Переходим к степеням с тем же основанием: x > 2³, то есть x > 8.
3. ОДЗ — x > 0; все числа, большие 8, ей удовлетворяют.

Ответ: x > 8. Отдельное ограничение ОДЗ не сокращает найденный промежуток, но проверка нужна, чтобы убедиться, что решение допустимо. Направление знака сохранилось именно потому, что основание больше единицы.

Задача 2. Решить неравенство log₁⁄₃ x ≤ 2. Основание ⅓ находится между нулём и единицей, поэтому показательная функция убывает. При переходе к степеням знак меняется, а число x по-прежнему должно быть положительным.

1. Записываем ОДЗ: x > 0.
2. Так как 0 < ⅓ < 1, знак ≤ меняется на ≥: x ≥ (⅓)².
3. Вычисляем степень: (⅓)² = ⅑. Пересекаем условие x ≥ ⅑ с ОДЗ x > 0.

Ответ: x ≥ ⅑. Все найденные значения положительны, поэтому дополнительное ограничение не меняет результат. Равенство включено, так как в исходном неравенстве стоит знак ≤.

Задача 3. Решить неравенство log₅(2x − 1) > 1. Здесь аргумент — выражение, поэтому сначала найдём значения x, при которых логарифм существует. Затем перейдём к степеням: основание 5 больше единицы, следовательно, знак сохранится.

1. Записываем ОДЗ: 2x − 1 > 0, откуда x > ½.
2. Переходим к сравнению аргумента с 5¹: 2x − 1 > 5.
3. Решаем линейное неравенство: 2x > 6, значит, x > 3. Пересечение с ОДЗ x > ½ даёт x > 3.

Ответ: x > 3. Все значения из этого промежутка удовлетворяют условию существования логарифма. Если бы решение сравнения включало числа вне ОДЗ, их пришлось бы исключить.

Типичные ошибки

Не менять знак при 0 < a < 1. Ошибка возникает, если помнить сам переход к степеням, но забыть, что функция убывает. Проверьте себя, определив сначала, больше или меньше единицы основание; при основании меньше 1 направление сравнения нужно перевернуть.

Не учитывать положительность аргумента. Ученик может решить полученное сравнение и принять его за ответ, хотя исходный логарифм существует не при всех x. Перед преобразованиями выпишите ОДЗ и в конце пересеките её с найденным множеством.

Считать допустимым основание 1 или неположительное основание. Так бывает, если условия существования логарифма переносят на неравенства не полностью. Проверьте основание отдельно: оно должно быть больше нуля и не должно равняться 1; иначе выражение logₐ x не определено.

Записать только сравнение с aᵇ и не пересечь его с ОДЗ. Такое решение особенно легко ошибочно, если аргумент содержит выражение с переменной. Для самопроверки найдите область допустимых значений до перехода к степеням и убедитесь, что каждый ответ из итогового множества в неё входит.

Связь с другими темами

Для решения нужно знать определение логарифма и условия, при которых logₐ x существует: это помогает правильно задать ограничения на основание и аргумент. Также пригодятся свойства возрастания и убывания показательной функции, поскольку именно они объясняют, сохраняется знак или меняется. Этот способ становится основой для решения логарифмических неравенств с выражениями и систем неравенств: в них к сравнению добавляются ОДЗ и другие условия.

Что запомнить

• Основание логарифма положительно и не равно 1.
• Аргумент логарифма должен быть положительным.
• При a > 1 знак неравенства сохраняется.
• При 0 < a < 1 знак неравенства меняется.
• Переход к степеням основан на монотонности показательной функции.
• В конце проверь область допустимых значений.