"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Показательное неравенство — это неравенство, в котором переменная стоит в показателе степени. Такие неравенства нужны, чтобы находить значения переменной, при которых одна степень больше или меньше другой. Если обе части можно записать с одинаковым положительным основанием, задача сводится к сравнению показателей. При основании больше 1 знак сохраняют, а при основании между 0 и 1 меняют на противоположный, потому что показательная функция убывает.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Показательное неравенство — неравенство, в котором переменная содержится в показателе степени. Например, в 2ˣ > 8 неизвестное x задаёт показатель степени. Это определение помогает отличить такие задачи от неравенств, где переменная стоит в основании или вне степени.
Простейшее показательное неравенство — неравенство вида aˣ > b или aˣ < b, где a > 0 и a ≠ 1. Здесь a — постоянное основание, x — переменная, а b — заданное число. Такой вид важен потому, что решение часто сводится к сравнению показателей после приведения обеих частей к одному основанию.
Основание степени — число a в выражении aˣ. Для решения показательных неравенств нужно знать, больше ли оно единицы или находится между нулём и единицей. От этого зависит, сохраняется или меняется знак при сравнении показателей.
Для показательной степени предполагают, что основание a положительно. Тогда aˣ определено при любом действительном x, в том числе при дробных и отрицательных показателях. При отрицательном основании некоторые степени не имеют действительного значения, поэтому единое правило для всех x применить нельзя.
Если правая часть b положительна, её можно попытаться представить степенью с тем же основанием, что и левая часть. Например, число 8 записывается как 2³, и неравенство 2ˣ > 8 становится сравнением 2ˣ и 2³. После приведения оснований задача уже не требует искать значение степени для каждого x: достаточно сравнить показатели.
При a > 1 показательная функция возрастает. Это значит, что с увеличением x значение aˣ увеличивается, поэтому большему показателю соответствует большая степень. Следовательно, если основания одинаковы и больше единицы, порядок показателей совпадает с порядком значений степеней, а знак неравенства сохраняется.
При 0 < a < 1 функция убывает: увеличение показателя уменьшает значение степени. Например, у степеней (1/3)¹ и (1/3)² вторая степень меньше первой. Поэтому при сравнении таких степеней порядок меняется на противоположный: знак неравенства при переходе к показателям нужно развернуть.
Если b равна нулю или меньше нуля, приводить правую часть к степени и сравнивать показатели не требуется. При положительном основании aˣ всегда больше нуля, каким бы ни было действительное x. Поэтому aˣ > b выполняется при любом x, когда b ≤ 0, а условие aˣ < b в этой ситуации невыполнимо.
В таблице собраны правила для степеней с одинаковым основанием и отдельный случай, когда правая часть неположительна. Начинайте с проверки основания: от неё зависит направление сравнения. Если основания различны, сначала попробуйте привести их к одному основанию.
Когда правая часть не является степенью с подходящим основанием, проверьте, можно ли сравнить её со значением степени другим способом. Таблица описывает основные случаи без логарифмов.
| Вид неравенства | Условие на основание | Действие со знаком | Результат |
|---|---|---|---|
| aˣ > aᶜ или aˣ < aᶜ | a > 1 | Знак сохраняется | Сравнить x и c в том же порядке |
| aˣ > aᶜ или aˣ < aᶜ | 0 < a < 1 | Знак меняется на противоположный | Сравнить x и c с обратным знаком |
| aˣ > b или aˣ < b | b ≤ 0, a > 0 | Сравнение показателей неприменимо | Учитывать, что aˣ всегда положительно |
Задача 1. Решите неравенство 2ˣ > 8. Нужно получить одинаковое основание в обеих частях. Основание 2 больше единицы, поэтому после этого знак неравенства сохранится. Запишем решение по шагам.
Ответ: x > 3. Проверка показывает, что при x = 4 левая часть равна 16 и действительно больше 8, а граница x = 3 не входит в решение из-за строгого знака.
Задача 2. Решите неравенство (1/3)²ˣ⁻¹ ≤ (1/3)ˣ⁺². Основания уже одинаковы, но число 1/3 находится между 0 и 1. Значит, функция убывает, и при переходе к показателям знак нужно поменять. Затем останется решить линейное неравенство.
Ответ: x ≥ 3. Например, при x = 3 показатели равны 5, поэтому исходные степени равны и условие выполняется. При x больше 3 показатель слева становится больше, а степень с основанием 1/3 — меньше, что согласуется со знаком ≤.
Задача 3. Решите неравенство 4ˣ⁺¹ < 2³ˣ⁻¹. Основания сначала различаются, поэтому напрямую сравнивать показатели нельзя. Представим 4 как 2²: теперь обе части будут степенями числа 2. Поскольку 2 > 1, знак при сравнении показателей сохранится.
Ответ: x > 3. При x = 4 показатели равны 10 и 11, и левая степень меньше правой; граница x = 3 не подходит, потому что тогда степени равны.
Первая ошибка — менять знак при сравнении показателей с основанием больше единицы. Её допускают, перенося правило для основания между 0 и 1 на любой случай; проверка проста: при a > 1 функция возрастает, значит, большему показателю соответствует большая степень.
Обратная ошибка — сохранять знак при основании между 0 и 1. Здесь функция убывает, поэтому порядок значений противоположен порядку показателей. Проверьте себя на простых степенях: например, ½ > ¼, хотя 1 < 2.
Нельзя сравнивать показатели, если основания различны. Часто одно основание можно преобразовать: например, 4 представить как 2²; после этого проверьте, что основания действительно совпадают. Если привести степени к общему основанию не удалось, сравнение показателей само по себе не обосновывает ответ.
Наконец, не нужно логарифмировать или сравнивать показатели при неположительной правой части. Это происходит, когда ученик не проверяет знак числа b перед решением. Сначала используйте факт aˣ > 0: для b ≤ 0 неравенство со знаком > верно всегда, а со знаком < не имеет решений.
До решения показательных неравенств полезно повторить свойства степеней: они помогают преобразовать выражения и представить числа с одинаковым основанием. Также понадобится умение решать линейные неравенства, которые возникают после сравнения показателей. Если при преобразованиях умножаете или делите обе части неравенства на отрицательное число, знак обязательно меняется.
Освоенное правило служит основой для более сложных показательных неравенств. В них выражения в показателях могут быть сложнее, но идея сравнения степеней с одинаковым основанием остаётся полезной. Некоторые задачи сводятся к простейшим заменой переменной.
Почему основание показательной степени не может быть отрицательным?
Для отрицательного основания значение степени не определено для каждого действительного показателя: например, некоторые дробные степени не имеют действительного значения. Положительное основание позволяет определить aˣ при любом действительном x.
Когда при сравнении показателей нужно менять знак неравенства?
Знак меняют, если одинаковое основание находится между 0 и 1. В этом случае показательная функция убывает: большему показателю соответствует меньшее значение степени. При основании больше 1 знак сохраняется.
Что делать, если основания степеней разные?
Попробуйте представить обе части как степени с одним и тем же положительным основанием. Например, 4 можно записать как 2². Сравнивать показатели можно только после такого преобразования.
Можно ли решить простейшее показательное неравенство без логарифмов?
Да, если обе части удаётся представить степенями с одинаковым основанием. Тогда достаточно сравнить показатели, учитывая, больше основание единицы или меньше. Для этого логарифмы не нужны.
Как решить неравенство, если его правая часть равна нулю или отрицательна?
При положительном основании a значение aˣ положительно для любого действительного x. Поэтому aˣ > b верно при любом x, если b ≤ 0, а aˣ < b при b ≤ 0 решений не имеет.
6.4. Простейшие показательные неравенства
