§ 7. Синус и косинус угла

Определения и обозначения

Синус угла — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом начального радиуса на данный угол. Ординатой называют координату точки по вертикальной оси y. Поэтому синус показывает, насколько высоко или низко расположилась точка после поворота, и позволяет связывать любой угол с числом.

Косинус угла — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей данному углу. Абсцисса — координата по горизонтальной оси x. Косинус показывает положение точки слева или справа от начала координат; вместе с синусом он полностью задаёт её положение.

Единичная окружность — окружность с центром в начале координат и радиусом 1, используемая для определения синуса и косинуса. Её радиус равен длине начального радиуса, поэтому координаты точки сразу дают значения функций без пересчёта масштаба. Уравнение этой окружности x² + y² = 1 помогает получить основное тригонометрическое тождество.

Ориентированный угол — угол, для которого учитываются направление поворота и величина поворота. Поворот против часовой стрелки обычно считают положительным, а по часовой — отрицательным. Это понятие нужно, чтобы определять синус и косинус не только острых углов, но и отрицательных углов или углов, превышающих полный оборот.

Как это устроено

Представьте радиус единичной окружности, направленный вдоль положительной оси x. Повернём его на угол α и обозначим полученную точку буквой P. По определению её координаты равны (cos α; sin α): горизонтальная координата отвечает косинусу, вертикальная — синусу. Такой способ работает для любого поворота, потому что положение конечного радиуса можно задать и после нескольких оборотов.

Координаты точки на окружности радиуса 1 не могут выходить за пределы отрезка [−1; 1]. Например, точка с абсциссой больше 1 оказалась бы правее крайней точки окружности, а точки там нет. То же рассуждение применимо к ординате. Поэтому для любого угла −1 ≤ sin α ≤ 1 и −1 ≤ cos α ≤ 1; кроме того, из x² + y² = 1 следует sin² α + cos² α = 1.

Знак функции определяется знаком соответствующей координаты. В I четверти обе координаты положительны; во II абсцисса отрицательна, а ордината положительна; в III обе отрицательны; в IV абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Значит, синус положителен в верхней половине окружности, а косинус — в правой. На осях одна из координат может быть равна нулю.

Для углов 0, π/6, π/4, π/3 и π можно использовать прямоугольные треугольники, получающиеся при проведении перпендикуляра к оси. Угол π/4 даёт равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 1, поэтому оба катета равны √2/2. Для π/6 и π/3 рассмотрите половину равностороннего треугольника со стороной 1: короткий катет равен ½, длинный — √3/2. В точках для углов 0 и π/2 координаты равны соответственно (1; 0) и (0; 1), поэтому значения функций находятся прямо по осям.

Поворот на 2π — полный оборот: радиус возвращается в прежнее положение, значит, sin(α + 2π) = sin α и cos(α + 2π) = cos α. Поэтому 2π — период обеих функций. Поворот на π переводит точку в противоположную точку окружности, координаты которой меняют знаки, откуда sin(α + π) = −sin α и cos(α + π) = −cos α. Графики синуса и косинуса отражают эти повторения и сдвиг между функциями.

Основные свойства синуса и косинуса угла

Чтобы определить знак или нули, сначала соотнесите угол с точкой окружности, а затем проверьте соответствующую координату. При поиске значений учитывайте период 2π и то, что обе функции ограничены отрезком [−1; 1]. Формулы нулей показывают, при каких углах нужная координата равна нулю.

Разбор задач

Задача 1. Найти sin(π/6), cos(π/6), sin(π/4) и cos(π/4). Углы π/6 и π/4 лежат в первой четверти, поэтому обе координаты положительны. Для вычисления можно использовать два специальных прямоугольных треугольника, у которых гипотенуза равна радиусу окружности, то есть 1. Проверим отдельно значения для каждого угла.

1. Для π/6 половина равностороннего треугольника даёт катеты ½ и √3/2 при гипотенузе 1. Вертикальный катет соответствует синусу, горизонтальный — косинусу, поэтому sin(π/6) = ½, cos(π/6) = √3/2.
2. Для π/4 треугольник равнобедренный прямоугольный. При гипотенузе 1 каждый катет равен √2/2, значит, sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2.

Ответ: sin(π/6) = ½, cos(π/6) = √3/2, sin(π/4) = √2/2, cos(π/4) = √2/2. Полезная проверка — подставить значения в тождество sin² α + cos² α = 1. Для π/6 получаем ¼ + ¾ = 1, а для π/4 — ½ + ½ = 1.

Задача 2. Определить знаки sin(7π/6) и cos(7π/6), а затем найти их точные значения. Угол 7π/6 больше π, но меньше 3π/2, поэтому конечная точка находится в III четверти. Его удобно представить как π + π/6: после поворота на π координаты меняют знаки, а значения для π/6 уже известны.

1. В III четверти и абсцисса, и ордината отрицательны. Следовательно, sin(7π/6) < 0 и cos(7π/6) < 0.
2. Используем формулы sin(α + π) = −sin α и cos(α + π) = −cos α. Тогда sin(7π/6) = −sin(π/6) = −½, а cos(7π/6) = −cos(π/6) = −√3/2.

Ответ: sin(7π/6) = −½, cos(7π/6) = −√3/2; оба значения отрицательны. Проверка по координатам подтверждает знаки, а сумма квадратов равна ¼ + ¾ = 1. Здесь важно не забыть знак, который определяется четвертью.

Задача 3. Известно, что sin α = 3/5 и α лежит во II четверти. Найти cos α. Одно только значение синуса допускает два знака косинуса, поэтому сначала найдём его модуль, а затем воспользуемся расположением точки. Во II четверти абсцисса отрицательна.

1. По тождеству sin² α + cos² α = 1 получаем cos² α = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25. Значит, cos α равен либо 4/5, либо −4/5.
2. Во II четверти абсцисса точки отрицательна, а косинус — это абсцисса. Поэтому выбираем отрицательный вариант: cos α = −4/5.

Ответ: cos α = −4/5. Проверить выбор можно по двум условиям: квадрат косинуса равен 16/25, а сам косинус отрицателен во II четверти. Если бы четверть была I, знак пришлось бы выбрать положительным.

Типичные ошибки

Путают синус с абсциссой, а косинус с ординатой. Это происходит потому, что названия функций не напоминают напрямую о координатных осях. Запомните порядок записи точки: (cos α; sin α), то есть сначала горизонтальная координата, затем вертикальная. Проверить себя можно, рассмотрев угол 0: точка (1; 0), значит, cos 0 = 1, а sin 0 = 0.

Иногда синус и косинус считают положительными при любом угле. Причина — привычка работать только с острыми углами в прямоугольном треугольнике, где отношения длин положительны. Для произвольного угла сначала определите четверть, затем прочитайте знаки координат: синуса как ординаты и косинуса как абсциссы. Если результат противоречит положению точки, знак выбран неверно.

Периодом обеих функций ошибочно считают π/2. После такого поворота точка обычно оказывается в другом месте окружности, поэтому её координаты не обязаны совпадать с исходными. Полный возврат к той же точке происходит после поворота на 2π. Проверка на угле 0 показывает разницу: sin 0 = 0, но sin(π/2) = 1.

Формулу sin α = противолежащий катет / гипотенуза иногда применяют к любому углу. Она описывает отношение длин в прямоугольном треугольнике и напрямую подходит для острых углов, но не объясняет знак и значения за пределами первой четверти. Для остальных углов используйте единичную окружность или сведите угол к связанному острому углу, отдельно определив знак по четверти. Самопроверка: ответ должен учитывать и величину координаты, и её знак.

Связь с другими темами

Для работы с синусом и косинусом нужны координаты точки, понятие окружности, радианная мера угла и свойства прямоугольного треугольника. Эти знания позволяют перейти от геометрического определения к вычислению значений. Далее синус и косинус используются при изучении тригонометрических тождеств, тангенса и котангенса. Они также помогают решать уравнения, исследовать функции, описывать колебания и решать задачи геометрии.

Что запомнить

• Точка единичной окружности, соответствующая углу α, имеет координаты (cos α; sin α).
• −1 ≤ sin α ≤ 1 и −1 ≤ cos α ≤ 1.
• sin² α + cos² α = 1.
• Синус и косинус имеют период 2π.
• sin(−α) = −sin α, а cos(−α) = cos α.
• Знаки синуса и косинуса определяются четвертью единичной окружности.