26. Равновероятные возможности

Определения и обозначения

Случайный опыт — действие, результат которого заранее нельзя точно предсказать. Например, нельзя заранее знать, какой стороной упадёт монета. Это понятие нужно, чтобы отделить случайные ситуации от действий с заранее известным результатом.

Исход опыта — один из возможных результатов случайного опыта. При броске игральной кости исходом является выпадение одного из чисел от 1 до 6. Перечисление исходов помогает увидеть, какие результаты вообще нужно учитывать.

Равновероятные возможности — исходы, каждый из которых имеет одинаковый шанс наступить. У симметричной монеты орёл и решка считаются равновероятными. Это условие позволяет сравнивать исходы простым подсчётом, не отдавая одному из них предпочтение.

Вероятность события — отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновероятных исходов. Благоприятными называют исходы, при которых нужное событие происходит. Вероятность показывает, какую долю всех возможностей составляют подходящие результаты.

Как это устроено

Сначала случайный опыт нужно описать так, чтобы было понятно, что именно происходит и сколько раз выполняется действие. Затем составляют полный список его возможных исходов: при одном броске кости это 1, 2, 3, 4, 5, 6. Полный список нужен потому, что пропущенный вариант изменит общее число исходов и исказит ответ. Если исходов немного, их удобно записать подряд, а если действий несколько — составить пары или таблицу.

Равновероятность означает, что ни один исход не получает преимущества перед другим. Поэтому каждый исход можно учитывать как одну одинаковую долю общего числа возможностей. Например, при броске честной кости выпадение каждой грани считают одинаково возможным, хотя нужный результат заранее неизвестен. Если шансы исходов различаются, одного подсчёта количества вариантов уже недостаточно.

Общее число исходов включает все результаты, которые могут произойти, а не только подходящие для вопроса задачи. Число благоприятных исходов получают после того, как точно сформулировано событие. Например, при броске кости событие «выпало чётное число» благоприятно для исходов 2, 4 и 6, но всего исходов по-прежнему шесть. Такое разделение помогает не перепутать знаменатель и числитель дроби.

Если всего есть n равновероятных исходов, а благоприятных среди них m, то вероятность находят по формуле P = m/n. Формула работает потому, что каждый исход занимает одинаковую долю всех возможностей, а m подходящих исходов занимают m таких долей. Невозможное событие не имеет благоприятных исходов, поэтому его вероятность равна 0. У достоверного события благоприятны все исходы, поэтому m = n и P = 1; следовательно, любая вероятность лежит от 0 до 1.

Величины при вычислении вероятности события

Пользуйтесь таблицей по порядку: сначала найдите все исходы и запишите n, затем выделите подходящие и запишите m. После этого подставьте числа в формулу P = m/n и при необходимости сократите дробь. Последние две строки помогают проверить крайние случаи: если подходящих исходов нет, вероятность равна 0, а если подходят все, она равна 1.

Разбор задач

Бросок игральной кости

Бросают игральную кость. Найдём вероятность выпадения чётного числа. У обычной кости шесть граней, и выпадение каждой грани считают равновероятным.

1. Запишем все исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, поэтому n = 6.
2. Чётными являются числа 2, 4 и 6, значит, благоприятных исходов m = 3.
3. Подставим значения в формулу: P = m/n = 3/6 = 1/2.

Значит, вероятность выпадения чётного числа равна 1/2. Это разумный результат: половина шести граней содержит чётные числа.

Два броска монеты

Монету бросают два раза. Нужно найти вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз. При одном броске возможны орёл и решка, поэтому при двух бросках удобно записывать результаты по порядку.

1. Составим полный список: орёл–орёл, орёл–решка, решка–орёл, решка–решка. Всего n = 4 равновероятных исхода.
2. Ровно один орёл получается в двух случаях: орёл–решка и решка–орёл. Значит, m = 2.
3. Вычислим вероятность: P = 2/4 = 1/2.

Ответ: 1/2. Два варианта с одним орлом нельзя объединять в один, потому что они отличаются порядком результатов.

Две игральные кости

Две игральные кости бросают одновременно. Найдём вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Результат удобно записывать упорядоченной парой: первое число относится к первой кости, второе — ко второй.

1. Для первой кости есть 6 вариантов и для второй тоже 6, поэтому всего n = 6 · 6 = 36 пар исходов.
2. Сумму 8 дают пары (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Их пять, значит, m = 5.
3. Применим формулу: P = m/n = 5/36.

Ответ: 5/36. Пары (2; 6) и (6; 2) учитываются отдельно, поскольку значения первой и второй костей поменялись местами.

Типичные ошибки

Считать исходы неравновероятными или не проверять это условие. Формула P = m/n подходит только тогда, когда все учитываемые исходы имеют одинаковые шансы. Проверьте, что монета или кость считаются честными и что каждый вариант записан на равных основаниях.

Забывать часть возможных исходов. Например, при двух бросках монеты некоторые записывают только два варианта вместо четырёх. Составьте список или схему и пересчитайте варианты, прежде чем находить n.

Объединять результаты с разным порядком. Последовательности «орёл–решка» и «решка–орёл» выглядят похожими, но возникают в разном порядке и являются разными исходами. Проверяйте, меняется ли результат, если поменять местами первое и второе действие.

Получать вероятность больше 1 или меньше 0. Такая ошибка означает, что число благоприятных исходов посчитано неверно либо неправильно выполнено деление. Убедитесь, что 0 ≤ m ≤ n, а затем проверьте результат: он обязан находиться от 0 до 1.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны обыкновенные дроби, отношение величин и навыки перебора. Умение систематически считать варианты помогает не пропускать исходы и не повторять их.

Тема пригодится в задачах о бросках монет и костей, выборе предметов и подсчёте шансов. Та же схема встречается в играх и простых практических оценках случайных событий.

Дальше эти идеи используются в комбинаторике, статистике и при изучении случайных величин. Подсчёт исходов становится основой для более сложных способов вычисления вероятностей.

Что запомнить

• Случайный опыт имеет несколько возможных исходов.
• Равновероятные исходы имеют одинаковые шансы наступить.
• Сначала считают все исходы, затем — благоприятные.
• Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
• Вероятность не может быть меньше 0 и больше 1.
• Вероятность невозможного события равна 0, а достоверного — 1.