25. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения

Определения и обозначения

Разность квадратов — выражение вида a² − b², где a и b — числа или выражения. Оно раскладывается по формуле a² − b² = (a − b)(a + b). Формула помогает быстро заменить разность двух квадратов произведением двух множителей.

Квадрат суммы записывается так: a² + 2ab + b² = (a + b)². Здесь первый и последний члены — квадраты, а средний равен удвоенному произведению их оснований. Распознав такой трёхчлен, можно свернуть его в квадрат двучлена, то есть суммы двух выражений.

Квадрат разности задаётся формулой a² − 2ab + b² = (a − b)². Внешние слагаемые снова являются квадратами, но среднее слагаемое отрицательное. Его знак показывает, что внутри скобок нужно вычитать b, а не прибавлять.

Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения более простых выражений. Например, вместо суммы слагаемых можно получить произведение двух скобок или квадрат одной скобки. Такая запись удобна, когда нужно упростить выражение или решить уравнение.

Как это устроено

Раскрытие скобок основано на распределительном свойстве: множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри неё. При разложении на множители действие выполняют в обратную сторону: ищут произведение, которое при раскрытии скобок даст исходную сумму. Поэтому проверка раскрытием скобок подтверждает, что преобразование не изменило выражение.

Чтобы узнать разность квадратов, сначала выясни, можно ли представить каждое слагаемое как квадрат. Например, 49 = 7², а x² уже является квадратом выражения x. Затем проверь знак: между квадратами должен стоять минус. Если оба условия выполнены, основания квадратов становятся a и b в формуле a² − b² = (a − b)(a + b).

Для квадрата двучлена тоже сначала проверяют крайние слагаемые: они должны быть квадратами, например a² и b². Но этого недостаточно, потому что из этих двух квадратов можно составить разные трёхчлены. Среднее слагаемое должно совпасть с удвоенным произведением оснований: +2ab даёт квадрат суммы, а −2ab — квадрат разности.

Буквы в формулах могут заменяться не только отдельными буквами, но и целыми выражениями. Например, в разности квадратов основаниями могут быть 5x и (2y + 1). Тогда выражение в скобках нужно считать одним основанием и переносить в результат без изменений. Скобки особенно важны, если внутри основания есть сложение или вычитание: без них знаки могут измениться при раскрытии произведения.

После разложения раскрой полученные скобки и приведи подобные слагаемые, если они есть. Сравни результат с исходным многочленом: должны совпасть и слагаемые, и их знаки. Такая проверка помогает заметить ошибку в выборе формулы, знаке или скобках до того, как разложение понадобится для следующего шага решения.

Формулы сокращённого умножения для разложения на множители

Сначала найди в многочлене подходящий вид и проверь все условия в среднем столбце. Затем выбери формулу из правого столбца, подставляя вместо a и b нужные основания. Если хотя бы одно условие не выполняется, не применяй формулу наугад.

Разбор задач

Разложите на множители x² − 49. Нужно определить, подходит ли выражение под формулу разности квадратов. Первое слагаемое является квадратом x, а число 49 можно записать как 7². Между ними стоит минус, поэтому можно применить формулу a² − b² = (a − b)(a + b).

1. Запишем число 49 как квадрат: x² − 49 = x² − 7².
2. Сопоставим выражение с формулой: a = x, b = 7.
3. Подставим основания в произведение разности и суммы: (x − 7)(x + 7).

Ответ: (x − 7)(x + 7). При проверке раскрытие скобок даёт x² + 7x − 7x − 49 = x² − 49, как и требовалось.

Разложите на множители 9a² + 24ab + 16b². Здесь три слагаемых, поэтому проверим, не является ли многочлен квадратом двучлена. Крайние части можно представить как (3a)² и (4b)². Теперь нужно проверить, что средний член равен удвоенному произведению этих оснований.

1. Найдём основания квадратов: √(9a²) = 3a, а √(16b²) = 4b.
2. Вычислим удвоенное произведение: 2 · 3a · 4b = 24ab. Оно совпадает со средним слагаемым.
3. Так как средний член положительный, применим формулу квадрата суммы: (3a + 4b)².

Ответ: (3a + 4b)². Раскрытие квадрата даёт 9a² + 24ab + 16b², поэтому и крайние, и среднее слагаемые исходного выражения восстановлены.

Разложите на множители 25x² − (2y + 1)². Здесь важно заметить, что второе слагаемое уже записано как квадрат выражения в скобках. Первое слагаемое тоже является квадратом, потому что 25x² = (5x)². Знак между квадратами отрицательный, значит, применима формула разности квадратов.

1. Запишем оба слагаемых как квадраты: (5x)² − (2y + 1)².
2. Определим основания: a = 5x, b = (2y + 1).
3. Подставим их в формулу, сохраняя скобки у сложного основания: (5x − (2y + 1))(5x + (2y + 1)).

Ответ: (5x − (2y + 1))(5x + (2y + 1)). При проверке произведение превращается в (5x)² − (2y + 1)²: это исходное выражение, причём скобки не дают потерять знак перед 2y + 1.

Типичные ошибки

Нельзя применять формулу разности квадратов к a² + b²: в формуле между квадратами стоит минус, а не плюс. Такую ошибку допускают, когда замечают квадраты, но не проверяют знак между ними. Проверь исходное выражение: если там сумма, произведение (a − b)(a + b) после раскрытия даст разность квадратов, а не сумму.

Трёхчлен не становится квадратом двучлена только потому, что первое и последнее слагаемые — квадраты. Средний член обязан равняться 2ab или −2ab для найденных оснований a и b. Чтобы проверить себя, умножь основания друг на друга, удвой результат и сравни его со средним слагаемым, включая знак.

В формуле квадрата разности после среднего члена b² остаётся со знаком плюс: (a − b)² = a² − 2ab + b². Ошибка возникает, если знак минус из скобок ошибочно переносят на последний квадрат. Раскрой скобки напрямую: (a − b)(a − b) даёт +b², поскольку произведение двух отрицательных слагаемых положительно.

Если основание — выражение со скобками, его нельзя небрежно переписывать без скобок. Например, при раскрытии 5x − (2y + 1) минус меняет знаки у обоих слагаемых внутри: получится 5x − 2y − 1. Чтобы не потерять слагаемое или знак, сохраняй скобки в записи и проверь результат раскрытием всего произведения.

Связь с другими темами

Для работы с формулами нужно уметь возводить одночлены и двучлены в квадрат, а также распознавать квадраты чисел и выражений. Эти навыки помогают увидеть основания a и b и проверить средний член трёхчлена. Полезно также знать распределительное свойство умножения и уметь раскрывать скобки: оно объясняет формулы и позволяет проверить ответ.

Разложение на множители пригодится в дальнейших темах алгебры. Например, если числитель и знаменатель дроби содержат общий множитель, его можно сократить при допустимых значениях переменной. При решении уравнений произведение помогает увидеть, при каких значениях переменной один из множителей равен нулю.

Что запомнить

• Разность квадратов раскладывается по формуле a² − b² = (a − b)(a + b).
• Сумма квадратов a² + b² не является разностью квадратов.
• Квадрат суммы содержит средний член +2ab.
• Квадрат разности содержит средний член −2ab.
• Перед применением формулы проверь все слагаемые и знаки.
• Результат разложения можно проверить раскрытием скобок.