"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Квадрат суммы и квадрат разности — выражения, в которых сумма или разность двух величин умножается сама на себя. При раскрытии скобок появляется средний член, поэтому квадрат суммы не равен просто сумме квадратов. Разность квадратов — другое выражение: её можно представить как произведение суммы и разности. Эти формулы помогают быстрее раскрывать скобки, упрощать выражения и раскладывать многочлены на множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — это выражение (a + b)², то есть произведение суммы a + b на саму себя. Его раскрывают по формуле (a + b)² = a² + 2ab + b². Среднее слагаемое 2ab появляется из двух одинаковых произведений при умножении скобок. Формула нужна, чтобы раскрывать скобки короче и не пропускать слагаемые.
Квадрат разности — выражение (a − b)², то есть произведение разности a − b на саму себя. Его раскрывают по формуле (a − b)² = a² − 2ab + b². Средний член здесь отрицательный, потому что при умножении возникают два произведения с разными знаками. Формула помогает правильно раскрыть скобки, когда внутри стоит разность.
Разность квадратов — выражение a² − b², в котором из одного квадрата вычитают другой. Его можно разложить на множители: a² − b² = (a − b)(a + b). Здесь a и b — основания квадратов, а не сами квадраты. Такое преобразование удобно, когда нужно представить многочлен в виде произведения.
Формулы для квадратов суммы и разности и разности квадратов называют формулами сокращённого умножения. Это готовые правила, позволяющие выполнить умножение или разложение быстрее, чем при обычном раскрытии скобок. Их особенность — повторяющаяся структура выражений, которую можно узнавать. Поэтому важно видеть, какие именно части выражения возводятся в квадрат и какие знаки стоят между ними.
Начнём с квадрата суммы: возведение в квадрат означает умножение выражения на себя, поэтому (a + b)² = (a + b)(a + b). Раскроем скобки по распределительному свойству: сначала получим a² + ab, затем прибавим ba + b². Так как ab и ba равны, два средних произведения объединяются в 2ab, и выходит a² + 2ab + b². Именно поэтому нельзя оставить только квадраты отдельных слагаемых.
Для квадрата разности также записываем произведение двух одинаковых скобок: (a − b)(a − b). При умножении получаем a² − ab − ab + b². Два средних слагаемых отрицательны: каждое получается при умножении положительного a на −b или −b на a. Их сумма равна −2ab, поэтому формула принимает вид (a − b)² = a² − 2ab + b².
Сравним полученные формулы. В обеих крайние слагаемые — a² и b², потому что при умножении перемножаются первые части скобок и вторые части. Средний член образуется из перекрёстных произведений, а его знак зависит от знаков внутри скобок. В квадрате суммы он равен +2ab, а в квадрате разности — −2ab.
Разность квадратов можно проверить обратным умножением: (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b². Средние слагаемые ab и −ab уничтожают друг друга, и остаётся a² − b². Поэтому равенство a² − b² = (a − b)(a + b) верно. Важно отличать его от формул квадратов: здесь нет квадрата всей скобки и среднего слагаемого.
Чтобы выбрать формулу, сначала определи, что именно дано: квадрат суммы, квадрат разности или вычитание двух квадратов. Скобки в квадрате раскрывают по формуле квадрата суммы или разности; выражение из двух квадратов, соединённых знаком минус, раскладывают на множители. Например, в (3x + 1)² целыми частями формулы будут 3x и 1. Проверка структуры помогает не применить правило к неподходящему выражению.
| Преобразование | Формула | Как распознать |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Сумма двух выражений заключена в скобки и возведена в квадрат. |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | Разность двух выражений заключена в скобки и возведена в квадрат. |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b) | Один квадрат вычитается из другого; общего квадрата скобки нет. |
Сначала найди выражение в скобках или два отдельных квадрата, затем выбери соответствующую строку таблицы. В первых двух случаях раскрывают квадрат скобки, а в третьем разлагают разность на множители. Подставляя вместо a и b нужные части выражения, внимательно сохраняй знаки.
Раскроем скобки: (x + 4)². Это квадрат суммы, поэтому роль a играет x, а роль b — число 4. Сначала возводим каждую часть в квадрат, затем записываем удвоенное произведение этих частей.
Ответ: x² + 8x + 16. Слагаемое 8x нельзя пропускать, потому что оно складывается из двух одинаковых перекрёстных произведений. Проверить результат можно умножением (x + 4)(x + 4).
Теперь раскроем скобки: (3a − 2b)². Здесь квадратом возведена разность, а её части — одночлены 3a и 2b. Для среднего члена используем −2, поскольку в формуле квадрата разности стоит минус.
Ответ: 9a² − 12ab + 4b². Знак среднего слагаемого отрицательный, потому что скобки содержат разность. Переменные a и b также возводятся в квадрат только в крайних слагаемых.
Разложим на множители 25x² − 9y². Между слагаемыми стоит минус, и каждое из них является квадратом: 25x² = (5x)², а 9y² = (3y)². Значит, можно применить формулу разности квадратов, где основания квадратов — 5x и 3y.
Ответ: (5x − 3y)(5x + 3y). Проверка подтверждает, что разложение возвращает исходное выражение. В множители записывают и сумму, и разность оснований квадратов.
Ошибка: записать (a + b)² = a² + b² и забыть средний член. Так получается, если возвести в квадрат только каждое слагаемое отдельно и не умножить скобки полностью. Для проверки раскрой (a + b)(a + b): два произведения ab дают 2ab, поэтому правильный результат содержит это слагаемое.
Ошибка: в формуле квадрата разности поставить +2ab вместо −2ab. Часто ученик замечает два одинаковых произведения, но не учитывает, что каждое имеет отрицательный знак. Проверь умножением (a − b)(a − b): произведения a · (−b) и (−b) · a оба отрицательные.
Ошибка: считать, что (a − b)² = a² − b². Здесь смешиваются квадрат разности и разность квадратов, хотя это разные выражения. Раскрой скобки слева: появятся −2ab и +b², а справа среднего члена нет; такая проверка быстро обнаружит ошибку.
Ошибка: применять разность квадратов к сумме квадратов или к выражению, где одно слагаемое не является квадратом. Это происходит, если ориентироваться только на наличие двух слагаемых, не проверяя знак и форму каждого. Представь оба слагаемых как квадраты и проверь, что между ними стоит минус; иначе формула a² − b² не подходит.
Для вывода этих формул нужно уметь раскрывать скобки по распределительному свойству умножения и перемножать одночлены. Например, среднее слагаемое возникает из двух произведений, которые затем приводят к подобным слагаемым. Формулы сокращённого умножения пригодятся при упрощении выражений и разложении многочленов на множители. Они также помогают преобразовывать уравнения и делать вычисления короче.
Почему при возведении суммы в квадрат появляется слагаемое 2ab?
Квадрат суммы — это произведение (a + b)(a + b). При умножении возникают два одинаковых слагаемых ab: одно из первого произведения a · b, другое из b · a. Вместе они дают 2ab.
Чем квадрат разности отличается от разности квадратов?
Квадрат разности записывают как (a − b)², и он равен a² − 2ab + b². Разность квадратов — это a² − b²; она раскладывается на множители (a − b)(a + b).
Почему в формуле квадрата разности средний член отрицательный?
При раскрытии скобок (a − b)(a − b) получаются произведения a · (−b) и (−b) · a. Оба равны −ab, поэтому вместе дают −2ab.
Как понять, что выражение можно разложить по формуле разности квадратов?
Нужно проверить, что в выражении вычитаются два квадрата: например, 25x² − 9y² = (5x)² − (3y)². Тогда применяют формулу a² − b² = (a − b)(a + b). Сумма квадратов этой формулой не раскладывается.
Можно ли применять эти формулы, если вместо чисел стоят переменные или одночлены?
Да, буквы в формулах могут обозначать числа, переменные или одночлены. Например, в (3a − 2b)² роль a и b из формулы выполняют 3a и 2b. Важно точно определить эти части и сохранить знаки.
24. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
