§ 10. Формулы сокращенного умножения

Определения и обозначения

Формула сокращённого умножения — тождество, позволяющее заменить произведение или степень многочлена более коротким выражением. Тождеством называют равенство, верное при любых допустимых значениях букв. Такая формула помогает не перемножать скобки каждый раз заново, а сразу записать результат и меньше ошибаться при вычислениях.

Квадрат суммы — это тождество (a + b)² = a² + 2ab + b². Здесь a² и b² — квадраты слагаемых, а 2ab — удвоенное произведение этих слагаемых. Средний член нельзя пропускать: он учитывает оба произведения a на b, возникающие при умножении скобок.

Квадрат разности выражается тождеством (a − b)² = a² − 2ab + b². Квадраты первого и второго выражений остаются положительными, а средний член отрицателен, потому что в произведении скобок возникают два слагаемых −ab. Эта запись нужна, чтобы быстро возводить в квадрат разность, не забывая знаки.

Разность квадратов задаётся тождеством (a + b)(a − b) = a² − b². В левой части перемножаются сумма и разность одних и тех же выражений. Формула полезна, когда нужно заменить такое произведение одним многочленом или, наоборот, представить разность квадратов в виде произведения.

Как это устроено

Чтобы получить квадрат суммы, запишем степень как произведение двух одинаковых скобок: (a + b)² = (a + b)(a + b). По распределительному свойству умножения каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй: получаем a² + ab + ab + b². Два одинаковых произведения ab складываются и дают 2ab, поэтому результат равен a² + 2ab + b².

Квадрат разности раскрываем так же, но в каждой скобке второе слагаемое отрицательное: (a − b)(a − b). При умножении получаем a² − ab − ab + b². Средние слагаемые складываются в −2ab, а последнее получается из (−b)(−b), то есть равно b²: произведение двух отрицательных чисел положительно. Поэтому формула имеет вид a² − 2ab + b², а не a² − 2ab − b².

Для разности квадратов перемножим сумму на разность: (a + b)(a − b). Распределительное свойство даёт a² − ab + ab − b². Слагаемые −ab и +ab противоположны и при сложении дают ноль, поэтому остаётся a² − b². Именно это сокращение объясняет, почему в результате нет среднего члена.

Буквы a и b могут обозначать не только отдельные числа, но и целые выражения, если запись сохраняет общий вид формулы. Например, в (x + 3)² можно считать a = x, b = 3; в 25x² − (y + 1)² — a = 5x, b = y + 1. При подстановке нужно возвести в квадрат всё выражение, которое заменяет букву, и сохранять его скобки, если они необходимы.

Формулы работают в двух направлениях. Если видим квадрат суммы или произведение скобок, раскрываем их и получаем многочлен; если видим многочлен, совпадающий с правой частью формулы, собираем его в скобки. Например, a² − b² можно разложить на (a + b)(a − b), а a² + 2ab + b² — свернуть в (a + b)². Перед преобразованием полезно определить, какая часть выражения играет роль a, а какая — роль b.

Формулы сокращённого умножения

В таблице сначала найди знакомую форму выражения, затем сопоставь отдельные части с a и b. Не путай знак между a и b со знаками в результате: в квадратах сумма последних квадратов всегда положительна, а средний член зависит от знака в скобках. Формулу можно читать и справа налево, если требуется разложение на множители.

Разбор задач

Задача 1. Раскройте скобки: (x + 5)². Выражение представляет собой квадрат суммы, поэтому подходит формула (a + b)² = a² + 2ab + b². Здесь a = x, b = 5; подставим эти значения, не забывая возвести в квадрат число 5. Затем вычислим произведение в среднем члене.

1. Записываем формулу квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b².
2. Подставляем a = x и b = 5: x² + 2 · x · 5 + 5².
3. Вычисляем: x² + 10x + 25.

Ответ: x² + 10x + 25. Проверка по структуре: есть квадрат первого слагаемого, удвоенное произведение и квадрат второго слагаемого.

Задача 2. Упростите выражение: (3a − 2)² − 9a². В скобках стоит квадрат разности, где первым выражением является 3a, а вторым — 2. После раскрытия скобок получим квадрат 3a, среднее слагаемое и квадрат 2; затем вычтем 9a². Заметь, что квадрат 3a равен 9a², поэтому слагаемые с a² уничтожатся.

1. Применяем формулу квадрата разности: (3a − 2)² = (3a)² − 2 · 3a · 2 + 2².
2. Вычисляем слагаемые: 9a² − 12a + 4.
3. Вычитаем оставшееся выражение и приводим подобные слагаемые: 9a² − 12a + 4 − 9a² = 4 − 12a.

Ответ: 4 − 12a. При проверке следи за тем, что знак минус перед 9a² относится ко всему последнему слагаемому исходного выражения.

Задача 3. Разложите на множители: 25x² − (y + 1)². Здесь записана разность двух квадратов: 25x² = (5x)², а второе слагаемое — квадрат выражения y + 1. Применим формулу a² − b² = (a + b)(a − b), считая a = 5x и b = y + 1. Скобки вокруг y + 1 сохраняем, потому что это одно целое выражение.

1. Определяем квадраты: 25x² = (5x)², а (y + 1)² уже записан как квадрат.
2. Подставляем a = 5x и b = y + 1 в формулу разности квадратов.
3. Получаем произведение: (5x + y + 1)(5x − (y + 1)).
4. При желании упрощаем вторую скобку: (5x + y + 1)(5x − y − 1).

Ответ: (5x + y + 1)(5x − y − 1). Раскрытие скобок вернёт исходную разность квадратов, поэтому преобразование можно проверить в обратном направлении.

Типичные ошибки

Запись (a + b)² = a² + b² пропускает среднее слагаемое 2ab. Так ошибаются, когда воспринимают квадрат суммы как отдельное возведение каждого слагаемого в квадрат. Проверка простая: представь степень как (a + b)(a + b) и перемножь скобки — появятся два произведения ab.

В квадрате разности иногда делают последнее слагаемое отрицательным: a² − 2ab − b². Это происходит, если знак минус в скобках ошибочно переносят на квадрат второго слагаемого. Проверь умножением: последний член — (−b)(−b) = b², поэтому он положительный.

Квадрат разности (a − b)² путают с разностью квадратов a² − b², потому что в обоих выражениях встречаются минусы и квадраты. Но в первом случае возводят в квадрат всю скобку, поэтому есть средний член −2ab; во втором вычитают один квадрат из другого. Чтобы проверить выбор, посмотри на исходную запись: есть ли там скобка, возведённая в квадрат?

При подстановке выражения вместо буквы можно забыть, что в квадрат возводится вся скобка. Например, в (x + 3)² вторым слагаемым остаётся число 3, поэтому результат содержит 2 · x · 3 и 3², а не квадрат x + 3, использованный как отдельное слагаемое. Выпиши значения a и b рядом с формулой, а затем подставляй их целиком.

Связь с другими темами

Для вывода формул нужно уметь пользоваться распределительным свойством умножения: каждый член одной скобки умножается на каждый член другой. Также понадобятся умножение многочленов и правила раскрытия скобок, включая работу со знаками. Если эти действия знакомы, можно понять, откуда берётся каждый член формулы, а не просто заучить готовый результат.

Формулы сокращённого умножения применяются при преобразовании выражений, разложении многочленов на множители и упрощении вычислений. Они помогают сократить запись и увидеть строение выражения: например, распознать разность квадратов или полный квадрат суммы. Это умение пригодится и при решении уравнений, где выражение удобно представить в виде произведения.

Что запомнить

• (a + b)² = a² + 2ab + b².
• (a − b)² = a² − 2ab + b².
• (a + b)(a − b) = a² − b².
• В квадратах суммы и разности последнее слагаемое положительное.
• Формулу можно применять и для раскрытия скобок, и для разложения на множители.
• Вместо букв a и b могут стоять любые выражения.