"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Формулы сокращённого умножения помогают быстро раскрывать скобки и раскладывать многочлены на множители. Они заменяют длинное умножение короткой записью, если выражение имеет нужную структуру. Например, квадрат суммы состоит из квадратов каждого слагаемого и удвоенного произведения, а разность квадратов превращается в произведение суммы и разности. Главное — замечать подходящий вид выражения и точно соблюдать знаки и коэффициенты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — это формула (a + b)² = a² + 2ab + b², где a и b — любые выражения. Справа записаны квадрат первого слагаемого, удвоенное произведение слагаемых и квадрат второго слагаемого. Формула показывает, как раскрыть скобки, не выполняя умножение подробно.
Квадрат разности записывается так: (a − b)² = a² − 2ab + b². Здесь крайние слагаемые снова являются квадратами, а среднее — удвоенным произведением, но со знаком минус. Формула нужна, чтобы быстро раскрывать скобки, когда одно слагаемое вычитают из другого.
Разность квадратов — выражение a² − b², которое можно представить как (a − b)(a + b). Двучлены a − b и a + b называются сопряжёнными: они отличаются знаками между одинаковыми слагаемыми. Эта формула помогает заменять разность двух квадратов произведением.
Куб суммы и куб разности раскрываются по формулам (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ и (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. В каждой формуле четыре слагаемых, а коэффициенты двух средних равны 3. При кубе разности знаки идут по очереди: плюс, минус, плюс, минус.
Чтобы получить квадрат суммы, умножим двучлен на самого себя: (a + b)(a + b). По распределительному свойству получаем a² + ab + ab + b². Два средних слагаемых одинаковы, поэтому ab + ab = 2ab. Так появляется формула (a + b)² = a² + 2ab + b², а не просто сумма квадратов.
Квадрат разности раскрывается умножением (a − b)(a − b). При перемножении слагаемых получаем a² − ab − ab + b²: два смешанных произведения отрицательны, потому что в каждом участвует −b. Вместе они дают −2ab. Последний член равен (−b)(−b) = b², поэтому он остаётся положительным.
Для разности квадратов перемножим сумму и разность: (a − b)(a + b). Распределительное свойство даёт a² + ab − ab − b². Смешанные произведения ab и −ab взаимно уничтожаются, поскольку их сумма равна нулю. Остаётся a² − b², поэтому разность квадратов можно разложить на два сопряжённых двучлена.
Формулы куба можно получить последовательным умножением: сначала возвести двучлен в квадрат, затем умножить результат ещё на этот двучлен. Например, для куба суммы умножаем a² + 2ab + b² на a + b; подобные слагаемые дают коэффициенты 3 у a²b и ab². Для разности умножаем a² − 2ab + b² на a − b: средние слагаемые становятся −3a²b и +3ab². Вместе с крайними членами это даёт чередование знаков в кубе разности.
Формулы можно применять не только для раскрытия скобок, но и справа налево. Для этого нужно сравнить выражение с результатом формулы и найти, чем являются a и b. Например, a² − 2ab + b² можно записать как (a − b)², если средний член действительно равен минус удвоенному произведению. Такая проверка помогает не принять похожее, но неподходящее выражение за формулу.
| Название | Формула | Знаки и особенности |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Средний член положительный, равен 2ab. |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | Средний член отрицательный, последний — положительный. |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b) | Произведение разности и суммы. |
| Куб суммы | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | Все знаки положительные, средние коэффициенты — 3. |
| Куб разности | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | Знаки чередуются, средние коэффициенты — 3. |
Сначала найдите в выражении знакомые квадраты или кубы, затем определите роль каждого слагаемого и проверьте знаки. Для разложения на множители сравнивайте выражение с правой частью формулы. Особенно внимательно различайте квадрат разности и разность квадратов.
Задача 1. Раскройте скобки: (x + 5)². В скобках стоит сумма двух слагаемых, значит, подходит формула квадрата суммы. В ней вместо a нужно подставить x, а вместо b — 5. Подставим эти выражения и отдельно вычислим квадрат числа 5 и удвоенное произведение.
Ответ: x² + 10x + 25. Средний член 10x получился из удвоенного произведения x и 5.
Задача 2. Разложите на множители: 9a² − 16b². Здесь два слагаемых вычитаются, и каждое является квадратом: 9a² = (3a)², 16b² = (4b)². Значит, можно применить разность квадратов, взяв за первое выражение 3a, а за второе — 4b. Результатом будет произведение суммы и разности этих выражений.
Ответ: (3a − 4b)(3a + 4b). При проверке можно перемножить скобки: смешанные произведения сократятся.
Задача 3. Упростите выражение: (2x − 3)² − (2x − 3)(2x + 3). Первое слагаемое похоже на квадрат разности, а произведение во втором слагаемом — на разность квадратов. Удобно раскрыть обе части по формулам, а затем вычесть полученные выражения. Следите за тем, что перед произведением стоит знак минус: он меняет знаки всех его слагаемых.
Ответ: 18 − 12x. Квадратные слагаемые взаимно уничтожились, но свободные числа сложились, потому что перед второй скобкой стоял минус.
Ошибка: записать (a + b)² = a² + b² и забыть член 2ab. Так делают, когда возводят в квадрат каждое слагаемое отдельно, не замечая произведений при умножении скобок. Проверьте себя раскрытием (a + b)(a + b): в нём обязательно появятся два слагаемых ab.
Ошибка: поставить минус перед b² в формуле квадрата разности. Средний член отрицателен, но последний получается из произведения (−b)(−b), которое положительно. Для проверки раскройте скобки и убедитесь, что крайний член равен b².
Ошибка: считать, что a² − b² = (a − b)². Эти выражения различаются: в квадрате разности есть ещё среднее слагаемое −2ab и член b². Сверьте строение: разность квадратов раскладывается в произведение двух сопряжённых скобок.
Ошибка: перепутать знаки или коэффициенты при кубе суммы и кубе разности. Например, можно забыть коэффициент 3 у средних членов или поставить в кубе разности все знаки минус. Сверяйте четыре члена с формулой: коэффициенты внутри равны 1, 3, 3, 1, а у куба разности знаки чередуются.
Для вывода формул нужно уметь умножать многочлены и раскрывать скобки по распределительному свойству. Поэтому полезно сначала проверять каждое правило обычным перемножением, особенно если забылись знаки или коэффициенты. Формулы сокращённого умножения затем помогают разлагать многочлены на множители и преобразовывать выражения. Они также пригодятся при сокращении дробей, когда числитель и знаменатель удаётся представить в виде произведений.
Почему в квадрате суммы появляется слагаемое 2ab?
Квадрат суммы — это произведение (a + b)(a + b). При умножении получаются два одинаковых слагаемых ab, а их сумма равна 2ab.
Почему при возведении разности в квадрат последний член положительный?
Последний член получается при умножении −b на −b. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому получается b².
Как отличить разность квадратов от квадрата разности?
Разность квадратов имеет вид a² − b² и раскладывается в произведение (a − b)(a + b). Квадрат разности записывается как (a − b)² и раскрывается в a² − 2ab + b².
Как быстро проверить, подходит ли выражение под формулу сокращённого умножения?
Сравните выражение с формулой: проверьте число слагаемых, степени, коэффициенты и знаки. При необходимости обозначьте части выражения буквами a и b и подставьте их в формулу.
Можно ли применять эти формулы справа налево, чтобы разложить выражение на множители?
Да, формулы работают в обоих направлениях. Например, выражение a² − b² можно заменить произведением (a − b)(a + b), если оно точно имеет вид разности квадратов.
§ 6. Формулы сокращённого умножения
