"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Формулы сокращённого умножения помогают короче записывать результат умножения и быстрее преобразовывать выражения. Для квадрата суммы и квадрата разности важно учитывать средний член, а разность квадратов можно заменить произведением двух скобок. Формулы работают в обе стороны: по ним раскрывают скобки, узнают готовые выражения и раскладывают многочлены на множители. С их помощью удобно считать и тогда, когда числа близки к круглым.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — это произведение (a + b)(a + b), которое раскрывается по формуле (a + b)² = a² + 2ab + b². Буквы a и b могут обозначать числа или выражения, например x и 5. Формула позволяет сразу раскрыть скобки и не пропустить ни одного слагаемого.
Квадрат разности — произведение (a − b)(a − b), которое раскрывается по формуле (a − b)² = a² − 2ab + b². Он похож на квадрат суммы, но перед средним членом стоит минус. Формула нужна, чтобы быстро раскрывать скобки, в которых одно слагаемое вычитают из другого.
Разность квадратов — выражение a² − b², которое можно представить произведением (a − b)(a + b). Здесь возводится в квадрат каждое из двух выражений, а не вся скобка. Такая запись помогает разложить многочлен на множители, то есть заменить его суммой или разностью на произведение скобок.
Чтобы получить формулу квадрата суммы, сначала запишем квадрат как умножение двух одинаковых скобок: (a + b)(a + b). По распределительному свойству умножения каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. Получаются a², ab, ещё одно ab и b², а два одинаковых произведения складываются: ab + ab = 2ab. Поэтому в формуле три слагаемых, а не только квадраты a и b.
В квадрате разности раскрываем скобки так же: (a − b)(a − b). Произведение первых членов равно a², а произведение последних равно (−b)(−b) = b². Два оставшихся произведения — a·(−b) и (−b)·a — оба равны −ab, поэтому вместе дают −2ab. Так становится понятно, почему минус стоит только перед средним членом, а последний член остаётся положительным.
Разность квадратов получается из произведения скобок с одинаковыми членами, но разными знаками: (a − b)(a + b). Раскроем скобки: a² + ab − ab − b². Слагаемые ab и −ab взаимно уничтожаются, потому что их сумма равна нулю. Остаётся a² − b², поэтому при умножении такой пары скобок средних членов в ответе нет.
Формулы можно использовать и в обратном направлении. Например, выражение x² + 10x + 25 похоже на квадрат суммы: крайние члены — x² и 5², а средний член равен 2·x·5. Значит, выражение можно записать как (x + 5)². Сначала проверьте, что совпадают оба крайних квадрата и средний член, иначе замена будет неверной.
Формулы помогают упростить вычисления, если числа удобно представить как сумму или разность. Например, в произведении 49·51 числа расположены по разные стороны от 50, поэтому их можно записать как (50 − 1)(50 + 1). Это разность квадратов: 50² − 1². Так вместо обычного умножения достаточно возвести в квадрат круглое число и вычесть единицу.
| Название | Формула | Средний член или результат |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Средний член положительный: +2ab |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | Средний член отрицательный: −2ab |
| Разность квадратов | (a − b)(a + b) = a² − b² | Слагаемые ab и −ab сокращаются |
Выбирайте строку таблицы по виду выражения: две одинаковые скобки в квадрате или произведение скобок с противоположными знаками. При раскрытии скобок следите за средним членом, а при разложении на множители проверяйте, что получаются именно исходные слагаемые. Для самопроверки можно раскрыть скобки в полученном произведении.
Раскройте скобки: (x + 5)². Скобка возводится в квадрат, поэтому это квадрат суммы, а не произведение x² и 5². В формуле a обозначает первый член x, а b — число 5. Подставим эти значения во все три части формулы.
Ответ: x² + 10x + 25. Средний член здесь положительный, потому что в скобках стоит плюс. Проверить ответ можно умножением (x + 5) на (x + 5): снова появятся два слагаемых 5x.
Вычислите удобным способом: 49 · 51. Умножать столбиком не обязательно: 49 и 51 отстоят от 50 на одинаковое расстояние. Представим числа как разность и сумму: 49 = 50 − 1, 51 = 50 + 1. Теперь произведение имеет вид разности квадратов.
Ответ: 2499. Способ удобен именно потому, что числа находятся на одинаковом расстоянии от 50. При проверке можно умножить 49 на 51 обычным способом и убедиться, что результат совпадает.
Разложите на множители: 9a² − 25b². Между членами стоит минус, а оба члена являются квадратами: 9a² = (3a)², 25b² = (5b)². Значит, выражение подходит под формулу разности квадратов, где вместо a и b стоят целые выражения 3a и 5b.
Ответ: (3a − 5b)(3a + 5b). Важно не возводить всю разность в квадрат: в исходном выражении нет скобок с показателем 2. Проверка раскрытием скобок подтверждает и знаки, и исходные квадраты.
Запись (a + b)² = a² + b² пропускает два произведения ab. Такая ошибка возникает, если квадрат скобки принимают за отдельное возведение в квадрат каждого слагаемого. При раскрытии скобок выпишите все четыре произведения: a², ab, ab, b²; тогда два средних члена не потеряются. Проверка — убедиться, что в результате есть 2ab.
В квадрате разности иногда перед b² ставят минус. Его ошибочно переносят из знака между слагаемыми в скобке на последний член. Но последний член возникает из произведения (−b)(−b), а два минуса дают плюс. Для проверки раскройте скобки: последний член должен быть положительным квадратом.
Ещё одна ошибка — записать средний член квадрата разности как +2ab. Её легко допустить, если запомнить формулу квадрата суммы и не обратить внимания на минус в скобках. Перемножьте разные члены: a·(−b) и (−b)·a дают два отрицательных слагаемых. Значит, средний член равен −2ab.
Формулу разности квадратов применяют к сумме квадратов или путают с квадратом суммы. Но a² + b² не равно (a − b)(a + b), а (a + b)² дополнительно содержит средний член 2ab. Перед применением формулы проверьте, что есть именно два квадрата и между ними стоит минус. Раскройте предполагаемые множители: если средние произведения не уничтожаются или исходные знаки не совпали, формула выбрана неверно.
Перед изучением формул нужно уметь раскрывать скобки и перемножать многочлены. Для этого используют распределительное свойство: каждый член одной скобки умножают на каждый член другой. Именно из такого умножения выводятся формулы квадрата суммы и квадрата разности.
Формулы сокращённого умножения применяются при преобразовании выражений и разложении многочленов на множители. Они также помогают выполнять вычисления с числами, которые удобно представить как сумму или разность. Умение узнавать структуру выражения сокращает количество действий и помогает проверять результат.
Дальше эти приёмы станут основой для изучения формул сокращённого умножения для кубов. Они также пригодятся в более сложных преобразованиях многочленов. Поэтому полезно не только запомнить формулы, но и понимать, откуда в них появляются знаки и слагаемые.
Почему в квадрате суммы появляется именно 2ab?
Квадрат суммы — это произведение (a + b)(a + b). При раскрытии скобок получаются два одинаковых произведения ab, поэтому их сумма равна 2ab.
Почему при возведении разности в квадрат член b² остаётся положительным?
Последний член появляется при умножении −b на −b. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому (−b)(−b) = b².
Как не перепутать формулу квадрата разности с формулой разности квадратов?
В квадрате разности одна скобка возводится в квадрат: (a − b)² = a² − 2ab + b². Разность квадратов — это два квадрата, разделённые минусом: a² − b² = (a − b)(a + b).
Можно ли применять формулу разности квадратов, если слагаемые записаны не как явные квадраты?
Можно, если каждый член удаётся представить как квадрат выражения. Например, 9a² − 25b² — это (3a)² − (5b)², поэтому выражение раскладывается на множители по формуле разности квадратов.
Как понять, какую формулу сокращённого умножения применить к выражению?
Посмотрите на форму выражения: квадрат суммы или разности содержит скобки с показателем 2, а разность квадратов состоит из двух квадратов с минусом между ними. Для проверки сопоставьте части выражения с буквами a и b в формуле.
§ 24. Формулы сокращенного умножения
