"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Умножение многочлена на многочлен — это последовательное умножение каждого слагаемого одной скобки на каждое слагаемое другой. Такой приём помогает раскрывать скобки и упрощать алгебраические выражения. Сначала записывают все произведения одночленов, не теряя знаки, затем приводят подобные слагаемые. Освоив это правило, легче решать уравнения и преобразовывать выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — это сумма одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Например, 3x² − 2x + 5 состоит из трёх одночленов, а знак минус перед 2x показывает, что это слагаемое отрицательное. Одночлены с одинаковой буквенной частью называют подобными: 4x и −x подобны, а x и x² — нет. Понятие многочлена помогает увидеть, какие части выражения будут участвовать в умножении.
Произведение многочленов — выражение, полученное умножением одного многочлена на другой. Например, (x + 2)(x + 3) — произведение двух многочленов, записанных в скобках. После раскрытия скобок оно превращается в многочлен без этих скобок. Такое обозначение нужно, чтобы компактно записывать выражения и затем преобразовывать их по правилам.
Распределительное свойство умножения задаётся правилом a(b + c) = ab + ac: множитель умножают на каждое слагаемое суммы. Если в скобках стоит разность, её можно записать как сумму слагаемого с противоположным знаком: a(b − c) = ab − ac. Свойство позволяет раскрыть скобки, не меняя значения выражения. Именно оно лежит в основе умножения многочленов.
Умножение многочленов сводится к многократному применению распределительного свойства. Например, в произведении (a + b)(c + d) сначала можно умножить c + d на a, а затем на b. Получится a(c + d) + b(c + d), после чего скобки раскрываются ещё раз. Поэтому в результате появляется произведение каждой пары слагаемых: ac, ad, bc и bd.
При раскрытии скобок нужно записать все полученные произведения одночленов и сохранить знаки исходных слагаемых. Знак каждого результата определяется знаками тех двух слагаемых, которые перемножаются: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Например, отрицательное слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй, а не только на первое. Если пропустить знак или пару слагаемых, получится уже другое выражение.
После раскрытия скобок приводят подобные слагаемые, если они есть. Это значит, что коэффициенты при одинаковой буквенной части складывают или вычитают, например 3x + 2x = 5x. Такая замена не меняет значение выражения: по сути, мы объединяем одинаковые части, как одинаковые предметы в задаче. Неподобные слагаемые объединять нельзя, поэтому x² и x остаются раздельными.
При умножении одночленов перемножают числовые коэффициенты, а показатели степеней одинаковых переменных складывают. Это происходит потому, что степени обозначают повторяющиеся множители: x² · x³ = (x · x)(x · x · x) = x⁵. Буквы с разными основаниями не объединяют: например, при умножении x² на y³ получают x²y³. Например, 2x · (−3x²) = −6x³.
Порядок вычислений можно проверить подстановкой чисел вместо переменных. Для этого выбирают значения, при которых исходное произведение легко посчитать, и находят значение полученного многочлена при тех же значениях. Равенство результатов показывает, что преобразование согласуется с вычислением исходного выражения. Однако одна подстановка не доказывает тождество во всех случаях, поэтому она служит проверкой вычислений, а не заменой правила.
Таблица показывает, какие действия выполнять по порядку и как меняется запись произведения (a + b)(c + d). Сверяйся с ней, чтобы не пропустить ни одной пары слагаемых и не забыть про подобные. В последнем столбце приведена общая схема, поэтому для конкретных выражений подставляй свои слагаемые.
| Этап | Что сделать | Пример для (a + b)(c + d) |
|---|---|---|
| Умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго | Составить все пары слагаемых | a·c, a·d, b·c, b·d |
| Записать все полученные произведения со знаками | Сохранить знаки исходных слагаемых | ac + ad + bc + bd |
| Привести подобные слагаемые, если они есть | Объединить только одинаковые буквенные части | В общем случае подобных слагаемых нет |
| Проверить результат подстановкой числовых значений | Сравнить значения исходного и полученного выражений | Например, при a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 обе части равны 21 |
Задача 1. Раскрыть скобки и упростить: (x + 2)(x + 3). Нужно перемножить каждое слагаемое первой скобки с каждым слагаемым второй. Затем проверим, есть ли среди полученных одночленов подобные. Числа 2 и 3 тоже считаются одночленами, поэтому их произведение нельзя забывать.
Ответ: x² + 5x + 6. В записи есть квадратный член, слагаемое с x и число; пропуск любой из четырёх пар изменил бы результат. Подстановкой, например x = 1, можно проверить вычисление: и исходное произведение, и ответ дают 12.
Задача 2. Раскрыть скобки и упростить: (2a − 3)(a + 4). Здесь особенно важно не потерять минус перед 3: это отрицательное слагаемое −3. Сначала выполним четыре умножения, а затем соберём слагаемые с a. Постоянное число останется отдельным слагаемым.
Ответ: 2a² + 5a − 12. Знак −12 получился при умножении двух чисел с разными знаками: −3 и 4. Для проверки при a = 1 исходное выражение равно (−1)·5 = −5, и многочлен также даёт −5.
Задача 3. Упростить: (x − 2)(x + 5) − (x + 1)(x − 3). Сначала раскроем каждое произведение отдельно, чтобы не смешать вычисления. Перед вторым произведением стоит минус, поэтому после его раскрытия нужно изменить знаки всех полученных слагаемых. Только затем удобно собрать подобные.
Ответ: 5x − 7. Здесь квадратные слагаемые уничтожились, потому что одно из них вычиталось из другого. Проверим при x = 0: исходное выражение равно (−2)·5 − 1·(−3) = −7, как и полученный результат.
Умножают только первые члены скобок, например в (x + 2)(x + 3) записывают лишь x². Так бывает, когда распределительное свойство применяют только один раз и забывают про остальные пары. Проверь себя: число произведений должно равняться числу слагаемых в первой скобке, умноженному на число слагаемых во второй; здесь их четыре.
Теряют минус при умножении отрицательных членов, например считают (−3)·4 равным 12. Ошибка возникает, если смотреть только на числа и не проверять знаки каждого произведения. Отдельно отметь знак каждого множителя: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Затем сверь, что знак результата соответствует этому правилу.
Складывают показатели степеней у разных переменных или при сложении одночленов. Показатели складывают при умножении степеней с одинаковым основанием: x²·x³ = x⁵, но x² и x³ при сложении не превращаются в x⁵. Перед упрощением проверь действие и буквенную часть. Подобные слагаемые должны иметь одинаковые переменные в одинаковых степенях.
Не приводят подобные слагаемые или объединяют неподобные. Первое оставляет выражение неоправданно громоздким, а второе меняет его значение: например, 2x + 3x можно заменить на 5x, но x + x² — нельзя. Сгруппируй одночлены с одинаковой буквенной частью и проверь, совпадают ли у них все переменные и показатели степеней. Если нет, оставь их раздельно.
Для умножения многочленов понадобятся распределительное свойство, правила знаков и умение умножать одночлены. Если эти действия уже знакомы, раскрытие скобок становится последовательностью понятных шагов. Умение различать подобные слагаемые нужно для завершения упрощения. Ошибка в любом из этих навыков может привести к неверному результату.
Раскрывать скобки и приводить подобные приходится при упрощении алгебраических выражений и решении уравнений. Умножение помогает заменить произведение многочленов более удобной суммой одночленов. После этого выражение часто легче сравнивать с другой частью уравнения или преобразовывать дальше. Поэтому аккуратная запись всех произведений полезна и в следующих темах алгебры.
Почему при умножении двух многочленов нужно перемножить каждый член с каждым?
Это следует из распределительного свойства: множитель умножается на каждое слагаемое. Если в обеих скобках несколько слагаемых, свойство применяют последовательно, пока не будут учтены все пары.
Как правильно раскрыть скобки, если в них есть отрицательные слагаемые?
Умножай каждое слагаемое отдельно и каждый раз учитывай знаки множителей. Произведение двух отрицательных чисел положительно, а произведение чисел с разными знаками отрицательно.
В каком порядке удобнее умножать многочлены?
Обычно сначала умножают первое слагаемое первой скобки на все слагаемые второй, затем переходят к следующему слагаемому. Можно выбрать и другой порядок, если ни одна пара не пропущена.
Когда после раскрытия скобок нужно приводить подобные слагаемые?
После того как записаны все произведения одночленов. Складывать или вычитать можно только слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 2x и −5x.
Как проверить, что результат умножения многочленов получен верно?
Подставь одинаковые числовые значения переменных в исходное произведение и в полученный многочлен. Если значения совпали, это подтверждает вычисления, хотя для полной проверки можно подставить и другие числа.
§ 23. Умножение многочлена на многочлен
