§ 27. Умножение многочлена на многочлен

Определения и обозначения

Многочлен можно представить как сумму одночленов, например 2x² − 3x + 5. Поэтому произведение многочленов означает произведение двух таких сумм. Чтобы его найти, каждое слагаемое одного многочлена умножают на каждое слагаемое другого.

Правило умножения многочлена на многочлен формулируют так: умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго, а затем сложить полученные произведения. Оно помогает действовать системно и не пропускать слагаемые. Число пар зависит от количества членов в скобках.

Одночлен, полученный при умножении одной пары слагаемых, является одним из слагаемых раскрытого произведения. Например, при умножении (x + 2)(x + 3) произведения x · x, x · 3, 2 · x и 2 · 3 образуют четыре таких слагаемых. Позже некоторые из них можно объединить как подобные.

Как это устроено

Правило появляется из распределительного свойства умножения относительно сложения. Сначала (a + b)(c + d) можно рассматривать как произведение первого множителя на сумму c + d, а затем раскрыть его: a(c + d) + b(c + d). Ещё одно применение свойства даёт ac + ad + bc + bd, то есть все возможные пары.

При раскрытии скобок удобно двигаться по первой скобке: взять её первое слагаемое и умножить на все члены второй, затем повторить то же для следующего. Так образуются строки произведений, и каждая пара становится заметной. Если в первой скобке 3 слагаемых, а во второй 2, должно появиться 3 · 2 = 6 произведений.

Каждое произведение сначала упрощают как произведение одночленов. Числовые коэффициенты перемножают отдельно, а степени одинаковых переменных записывают с суммой показателей: 3x² · 2x³ = 6x⁵. Такой порядок уменьшает число промежуточных действий и помогает не перепутать коэффициент с показателем.

После раскрытия скобок могут появиться подобные слагаемые, то есть слагаемые с одинаковой буквенной частью. Их коэффициенты складывают, потому что буквенные множители у них одинаковы: 4x − 7x = −3x. В стандартном виде результат записывают без лишних скобок и обычно располагают по убыванию степеней переменной.

Для двучленов, например (a + b)(c + d), получается четыре пары. Если слагаемых больше, правило не меняется: меняется только количество произведений. Поэтому умножение трёхчлена на двучлен требует шести пар, а трёхчлена на трёхчлен — девяти.

Порядок умножения многочленов

Таблица показывает не отдельную формулу, а последовательность действий. Используйте её как проверочный маршрут: после каждого шага убедитесь, что выполнено именно указанное действие.

Особенно полезно пересчитать пары до упрощения: это позволяет заметить пропуск ещё до сложения подобных слагаемых.

Разбор задач

1. Вторая скобка без отрицательных слагаемых

Выполним умножение (x + 2)(x + 3). Здесь в каждой скобке по два слагаемых, поэтому сначала должно получиться четыре произведения. После этого проверим, есть ли подобные слагаемые.

1. Умножаем x на оба слагаемых второй скобки: x · x = x² и x · 3 = 3x.
2. Умножаем 2 на оба слагаемых: 2 · x = 2x и 2 · 3 = 6.
3. Складываем результат: x² + 3x + 2x + 6.
4. Приводим подобные слагаемые 3x и 2x.

Ответ: x² + 5x + 6. Два средних слагаемых объединились, а первое и последнее остались без изменений.

2. Учитываем знаки

Рассмотрим (2a − 3)(a + 4). В первой скобке второе слагаемое отрицательное, поэтому знак каждого произведения с −3 нужно определить отдельно. Всего будет четыре произведения.

1. 2a · a = 2a², а 2a · 4 = 8a.
2. (−3) · a = −3a, а (−3) · 4 = −12.
3. Записываем сумму: 2a² + 8a − 3a − 12.
4. Приводим подобные слагаемые: 8a − 3a = 5a.

Ответ: 2a² + 5a − 12. Знак минус перед 3 меняет знаки обоих произведений, в которых участвует это слагаемое.

3. Трёхчлен умножается на двучлен

Найдём произведение (x² − 2x + 1)(2x − 3). В первой скобке три члена, во второй два, значит, нужно получить шесть произведений. Затем часть из них окажется подобной и сократит запись.

1. Умножаем x² на вторую скобку: x² · 2x = 2x³, x² · (−3) = −3x².
2. Умножаем −2x: (−2x) · 2x = −4x², (−2x) · (−3) = 6x.
3. Умножаем 1: 1 · 2x = 2x, 1 · (−3) = −3.
4. Получаем 2x³ − 3x² − 4x² + 6x + 2x − 3 и объединяем подобные.

Ответ: 2x³ − 7x² + 8x − 3. Важно было не только выполнить шесть умножений, но и сложить показатели при x² · x.

Типичные ошибки

Ученик умножает только первые или крайние слагаемые, воспринимая действие как сокращённую формулу. Так пропускаются средние пары, потому что взгляд цепляется за удобную схему. Проверьте число произведений: при m и n слагаемых должно быть m · n пар.

Частая ошибка связана со знаками: отрицательное слагаемое не распределяют на всю вторую скобку или считают − · − плюсом неправильно. Причина — попытка раскрыть скобки одним быстрым действием. Ставьте знак перед каждым отдельным произведением и проверяйте его по правилу умножения чисел.

При умножении степеней одинаковых переменных показатели иногда перемножают вместо сложения. Например, x² · x³ = x⁵, а не x⁶. Самопроверка проста: при одинаковом основании показатели при умножении складываются.

Некоторые складывают неподобные слагаемые или оставляют подобные несобранными. Сравните буквенную часть: 3x и −5x подобны, а 3x и 3x² — нет. Только после такой проверки складывайте коэффициенты и записывайте стандартный вид.

Связь с другими темами

До умножения многочленов нужно владеть распределительным свойством, правилами умножения одночленов и приведением подобных слагаемых. Без этих навыков трудно правильно раскрыть скобки и упростить результат. Повторите их, если при решении появляются сомнения.

Умножение многочленов используется при преобразовании алгебраических выражений, раскрытии скобок и решении уравнений. Оно помогает заменить сложное произведение более удобной суммой. Позже этот приём станет основой для работы с формулами и разложением выражений.

Что запомнить

• Каждое слагаемое первого многочлена умножают на каждое слагаемое второго.
• Распределительное свойство объясняет правило умножения многочленов.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• Знаки произведений определяют по правилам умножения чисел.
• После умножения приводят подобные слагаемые.
• Итог записывают в стандартном виде.