§ 26. Умножение многочлена на одночлен

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней, например −4x²y. Число со знаком, которое умножается на буквенную часть, называют коэффициентом; здесь коэффициент равен −4. Буквенная часть — произведение переменных со степенями, в примере это x²y. Такое разделение помогает отдельно вычислять числа и упрощать переменные.

Многочлен — это сумма нескольких одночленов, например 2x² − 3x + 5. Его члены — слагаемые, из которых он составлен. Слагаемое может быть отрицательным: знак минус перед ним означает, что одночлен вычитают. Это важно учитывать при раскрытии скобок, чтобы не потерять знак.

Умножение многочлена на одночлен — действие, при котором одночлен умножают на каждый член многочлена. Например, в выражении 2(x + 3) множитель 2 относится и к x, и к 3. Такой способ позволяет убрать скобки, не меняя значения выражения. Он удобен при упрощении выражений и решении уравнений.

Распределительное свойство умножения говорит, что произведение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое: k(a + b) = ka + kb. Оно действует и для разности: k(a − b) = ka − kb. Поэтому выражение со скобками можно заменить суммой или разностью отдельных произведений. Именно это свойство обосновывает правило умножения многочлена на одночлен.

Как это устроено

Правило раскрытия скобок следует из распределительного свойства. Представьте многочлен как сумму его членов: множитель перед скобками умножается на всю эту сумму, а свойство позволяет распределить умножение между слагаемыми. Например, k(a + b + c) = ka + kb + kc. Значит, нельзя оставить ни один член без множителя: иначе получится уже другое выражение.

Каждое такое произведение вычисляют как произведение одночленов. Сначала умножают числовые коэффициенты, а затем работают с буквенными частями. Если переменная встречается в обоих множителях, показатели её степеней складывают: x² · x³ = x⁵, потому что вместе перемножаются пять множителей x. Переменные с разными буквами сохраняют отдельно: x · y = xy.

Знаки определяются так же, как при умножении целых чисел: произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, а с разными — отрицательно. Например, (−2) · 3 = −6, а (−2) · (−3) = 6. Поэтому при умножении отрицательного одночлена нужно проверить знак каждого результата отдельно. Если перед скобками стоит один минус, это означает умножение всех членов внутри на −1, а не только изменение знака первого члена.

После раскрытия скобок проверьте, не появились ли подобные слагаемые — одночлены с одинаковой буквенной частью. Их можно объединить, складывая коэффициенты: 3x + 5x = 8x, но 3x + 5x² объединить нельзя. Такое приведение не меняет значение выражения, а лишь записывает его короче. Поэтому раскрытие скобок иногда не является последним шагом упрощения.

Результат можно проверить обратным действием — вынесением общего одночленного множителя за скобки. Например, в выражении 6x² + 15x общий множитель равен 3x, и после вынесения получаем 3x(2x + 5). Если в скобках восстановилось исходное выражение, преобразование выполнено верно. При проверке следите и за знаками, и за тем, чтобы общий множитель действительно присутствовал в каждом члене.

Умножение одночлена на слагаемые многочлена

Сопоставляйте случай с правилом для каждого члена отдельно: так легче не пропустить слагаемое и проверить знак каждого произведения. После раскрытия скобок ещё раз посмотрите, есть ли подобные слагаемые.

Разбор задач

Задача 1. Раскройте скобки: 3x(2x + 5).

1. В скобках два слагаемых, поэтому запишем произведение множителя с каждым из них: 3x · 2x + 3x · 5.
2. В первом произведении умножаем коэффициенты 3 и 2, а показатели x складываем: 3x · 2x = 6x². Во втором получаем 3x · 5 = 15x.
3. Записываем оба результата: 6x² + 15x. Подобных слагаемых здесь нет, поэтому объединять их не нужно.

Ответ: 6x² + 15x.

Задача 2. Раскройте скобки и упростите: −2a(3a − 4b + 1).

1. Умножаем −2a на каждый из трёх членов: (−2a) · 3a + (−2a) · (−4b) + (−2a) · 1. Такой порядок помогает не забыть среднее или последнее слагаемое.
2. Вычисляем произведения. В первом коэффициенты дают −6, а a · a = a², значит, получается −6a². Во втором два минуса дают плюс, коэффициенты дают 8, результат — 8ab.
3. Последнее произведение равно −2a. Получаем −6a² + 8ab − 2a; подобных слагаемых нет.

Ответ: −6a² + 8ab − 2a.

Задача 3. Упростите выражение: 2x(3x − 4) − x(2x + 5).

1. Раскрываем первую пару скобок: 2x · 3x − 2x · 4 = 6x² − 8x. Во второй паре сначала можно раскрыть скобки как x(2x + 5) = 2x² + 5x.
2. Перед второй скобкой стоит минус, поэтому вычитается весь полученный многочлен: 6x² − 8x − (2x² + 5x) = 6x² − 8x − 2x² − 5x. Минус перед скобками меняет знаки обоих её членов.
3. Собираем подобные: 6x² − 2x² = 4x², а −8x − 5x = −13x. Получаем 4x² − 13x.

Ответ: 4x² − 13x.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить одночлен только на первый член в скобках. Обычно так происходит, когда ученик торопится и воспринимает скобки как одно целое, забывая о распределительном свойстве. Проверьте, что в записи после раскрытия есть произведение с каждым слагаемым исходного многочлена. Число полученных членов до приведения должно совпадать с числом слагаемых в скобках.

Вторая ошибка — перемножить показатели степеней одинаковых переменных. Например, x² · x³ — это x⁵, а не x⁶: показатели складываются, поскольку перемножаются степени с одинаковым основанием. Ошибку легко проверить, расписав степени как повторное умножение: x² · x³ = x · x · x · x · x. Затем посчитайте множители x.

Третья ошибка — неверно определить знак произведения, особенно если отрицательны оба множителя или перед скобками стоит минус. Путаница возникает, когда ученик переносит знак только к первому слагаемому или не проверяет знаки чисел отдельно. Выпишите каждое произведение и сначала определите его знак по правилу умножения чисел. Отрицательный множитель перед скобками нужно умножить на каждый член.

Четвёртая ошибка — остановиться сразу после раскрытия скобок, хотя в результате остались подобные слагаемые. Например, 2x + 3x можно заменить на 5x, но слагаемые 2x и 3x² объединять нельзя. Ошибку проверяют сравнением буквенных частей: они должны полностью совпадать. После этого сложите коэффициенты и не меняйте общую буквенную часть.

Связь с другими темами

До изучения этого правила нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания: именно оно объясняет, почему множитель действует на каждый член скобок. Также понадобятся умения перемножать одночлены, работать со степенями одинаковых переменных и приводить подобные слагаемые. Умножение многочлена на одночлен используют при раскрытии скобок в выражениях и уравнениях. Обратное преобразование — вынесение общего множителя за скобки — помогает проверять раскрытие и упрощать записи.

Что запомнить

• Одночлен умножают на каждый член многочлена.
• При умножении коэффициентов учитывают их знаки.
• Степени одинаковых переменных при умножении складывают.
• После раскрытия скобок приводят подобные слагаемые.
• Умножение многочлена на одночлен основано на распределительном свойстве.
• Результат можно проверить вынесением общего множителя за скобки.