"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Умножение многочлена на одночлен — это умножение каждого слагаемого в скобках на один и тот же одночлен. Такое действие основано на распределительном свойстве умножения и помогает раскрывать скобки, упрощать выражения и решать уравнения. При вычислении отдельно перемножают коэффициенты и буквенные части, а показатели одинаковых переменных складывают. Если после раскрытия скобок появляются подобные слагаемые, их можно привести.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — сумма одночленов, например 2x² − 3x + 1. Каждый член такой записи отделён знаком сложения или вычитания. Многочлен удобно рассматривать как несколько слагаемых, на каждое из которых можно распространить умножение.
Одночлен — числовое или буквенное выражение, представляющее собой произведение чисел и переменных в неотрицательных целых степенях, например −4a²b. Одночлен часто записывают как произведение числового коэффициента и буквенной части: в −4a²b коэффициент равен −4, а буквенная часть — a²b. Такое разделение помогает выполнять вычисления по частям.
Произведение многочлена на одночлен — результат умножения одночлена на каждый член многочлена. Например, выражение 3x(2x + 5) означает, что множитель 3x нужно применить и к 2x, и к 5. Это определение задаёт порядок раскрытия скобок.
Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания — правило a(b + c) = ab + ac и a(b − c) = ab − ac. Оно позволяет умножать выражение в скобках по отдельным слагаемым, не меняя его значения. Именно на этом свойстве основано умножение многочлена на одночлен.
Правило умножения следует из распределительного свойства: множитель перед скобками нужно умножить на каждое слагаемое внутри. Например, a(b + c) — это сумма двух произведений: ab и ac. Если оставить один член без умножения, получится уже другое выражение, поэтому скобки раскрывают целиком.
В разности второй член можно представить как отрицательное слагаемое: b − c = b + (−c). Поэтому a(b − c) = ab + a(−c) = ab − ac. Знак минус не исчезает: он относится ко второму члену, а результат умножения определяется также знаком одночлена.
Чтобы перемножить одночлен и отдельный член многочлена, сначала находят произведение коэффициентов, а затем перемножают буквенные части. Например, в 3x · 2x коэффициенты дают 6, а буквенные множители — x · x. После вычисления записывают получившийся одночлен без скобок и переходят к следующему члену.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: x² · x³ = x⁵, потому что вместе получается пять множителей x. Если основания — разные переменные, например a и b, их показатели обрабатывают отдельно: 2a · 3b² = 6ab². Складывать показатели у разных букв нельзя, так как они обозначают разные множители.
После раскрытия скобок иногда появляются подобные одночлены — с одинаковой буквенной частью и теми же степенями переменных. Тогда можно сложить или вычесть их коэффициенты: например, 6x² − 2x² = 4x². Если буквенные части различаются, слагаемые оставляют отдельно, даже когда их коэффициенты можно сложить как числа.
В таблице собраны правила для основных действий. Сначала определите, какие члены находятся в скобках, затем примените правило к каждому из них. После раскрытия скобок проверьте знаки и при необходимости приведите подобные слагаемые.
| Случай | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Умножение на сумму | a(b + c) = ab + ac | 2(x + 3) = 2x + 6 |
| Умножение на разность | a(b − c) = ab − ac | 3(x − 2) = 3x − 6 |
| Умножение числовых коэффициентов | Числовые коэффициенты перемножают | −2 · 3 = −6 |
| Умножение степеней с одинаковыми буквенными основаниями | xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ | x² · x³ = x⁵ |
| Приведение подобных одночленов после раскрытия скобок | Складывают или вычитают коэффициенты, если буквенные части совпадают | 4x² + 3x² = 7x² |
Задача 1. Раскройте скобки: 3x(2x + 5). Здесь множитель 3x стоит перед суммой, поэтому нужно получить два произведения. В первом появятся две одинаковые переменные x, а во втором переменная умножится на число.
Ответ: 6x² + 15x. Проверка: множитель 3x участвовал в обоих произведениях, значит ни один член суммы не пропущен.
Задача 2. Раскройте скобки и упростите: −2a(3a − 4b). Отрицательный множитель нужно умножить и на положительный член 3a, и на отрицательный член −4b. Во втором произведении два минуса дадут плюс.
Ответ: −6a² + 8ab. Слагаемые не подобны, потому что у них разные буквенные части, поэтому объединить их нельзя.
Задача 3. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: 2x(3x − 4) − x(2x + 5). Здесь два произведения, а перед вторым стоит минус. Удобно сначала раскрыть каждую пару скобок, сохраняя этот знак перед всем вторым результатом.
Ответ: 4x² − 13x. Слагаемые с x² и с x различны, поэтому после сложения коэффициентов их оставляют в выражении.
Иногда одночлен умножают только на первый член многочлена. Так происходит, когда при раскрытии скобок забывают о распределительном свойстве. Проверьте число полученных произведений: оно должно совпадать с числом членов в скобках.
Другая ошибка — потеря минуса у члена разности или неверный знак результата. Обычно это случается, когда знаки слагаемых не записывают рядом с ними до умножения. Отдельно проверьте произведение знаков: минус на плюс даёт минус, а минус на минус — плюс.
При умножении степеней с одинаковым основанием иногда перемножают показатели, например пишут x² · x³ = x⁶. Это путают с другими действиями со степенями. Здесь нужно сложить показатели и получить x⁵; проверить результат можно, развернув степени в одинаковые множители.
Нельзя складывать коэффициенты у неподобных одночленов, например считать 2x + 3x² равным 5x³. Ошибка возникает, если сравнивают только числа и не смотрят на буквенную часть. Перед приведением проверьте, совпадают ли переменные и их показатели; если нет, слагаемые остаются раздельно.
Для этой темы нужны распределительное свойство умножения, правила знаков и умение перемножать одночлены. Распределительное свойство объясняет, почему множитель относится ко всем членам скобок, а правила знаков помогают правильно вычислить каждое произведение. Умножение одночленов нужно для работы с коэффициентами и степенями переменных.
Умножение многочлена на одночлен применяют при раскрытии скобок и упрощении алгебраических выражений. Оно также встречается при решении уравнений: выражение сначала можно преобразовать, чтобы затем упростить вычисления. Поэтому полезно каждый раз проверять полноту раскрытия скобок и знаки.
Почему одночлен нужно умножать на каждый член многочлена?
Так работает распределительное свойство: a(b + c) = ab + ac. Если умножить только на одно слагаемое, значение выражения изменится. Поэтому проверьте, что множитель был применён ко всем членам в скобках.
Как умножать одночлен на многочлен, содержащий разность?
Умножьте одночлен на оба члена разности, сохранив знак каждого из них. Например, a(b − c) = ab − ac. Если одночлен отрицательный, дополнительно учитывайте правила умножения чисел с разными знаками.
Что происходит со степенями одинаковых переменных при умножении?
Показатели складываются: xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ. Это происходит потому, что при умножении объединяются одинаковые множители. Для разных переменных показатели рассматривают отдельно.
Как правильно раскрыть скобки, если перед одночленом стоит минус?
Считайте минус частью одночлена и умножьте его на каждый член в скобках. Например, −x(a + b) = −xa − xb. При умножении на отрицательный член разности знак результата определяйте по правилам умножения знаков.
Когда после умножения нужно приводить подобные слагаемые?
Это делают, если после раскрытия скобок получились одночлены с одинаковой буквенной частью и одинаковыми степенями переменных. Тогда складывают или вычитают их коэффициенты. Неподобные слагаемые объединять нельзя.
§ 16. Умножение многочлена на одночлен
