§ 15. Сложение и вычитание многочленов

Определения и обозначения

Сумма многочленов — выражение, получаемое объединением слагаемых двух многочленов с последующим приведением подобных слагаемых. Например, в записи (x + 2) + (3x − 1) нужно собрать все слагаемые и объединить те, у которых одинаковая буквенная часть. Это определение помогает понять, что сложение многочленов сводится к обычной работе с их членами.

Разность многочленов — выражение, в котором из одного многочлена вычитается другой; её преобразуют как сумму уменьшаемого и противоположного многочлена. Например, A − B можно записать как A + (−B). Такой способ удобен, потому что позволяет выполнять вычитание по тем же правилам, что и сложение.

Противоположный многочлен — многочлен, у которого знаки всех членов изменены на противоположные. Для многочлена x² − 3x + 4 противоположным будет −x² + 3x − 4. Это понятие нужно, чтобы правильно заменить вычитание прибавлением и не потерять ни один знак.

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, которые можно объединить сложением или вычитанием коэффициентов. Например, 5a² и −2a² подобны, а 5a² и −2a — нет. Если различается буквенная часть или степень буквы, слагаемые оставляют раздельно.

Как это устроено

Многочлен записан как сумма своих членов, даже если перед некоторыми из них стоит знак минус: например, a − b + c означает a + (−b) + c. Поэтому при сложении двух многочленов можно раскрыть скобки и собрать все их члены в одну сумму. Знак «+» перед скобками не меняет слагаемые внутри, поскольку прибавление выражения сохраняет его значение. После этого остаётся найти пары слагаемых, которые можно объединить.

Подобные слагаемые можно представить как одинаковое число одинаковых предметов: 3x — это три x, а 2x — ещё два x. Вместе они дают 5x, то есть 3x + 2x = (3 + 2)x. Буквенная часть сохраняется, потому что слагаемые содержат одинаковые множители, а складываются только количества этих множителей — коэффициенты. По той же причине 4x² − x² = 3x², но 4x² и x объединить нельзя.

При вычитании многочлена важно учитывать, что вычитается всё выражение в скобках, а не только его первый член. Вычитание можно заменить прибавлением противоположного многочлена, поэтому меняют знак каждого слагаемого. Например, −(a² + 5a − 2) превращается в −a² − 5a + 2. Если изменить знак только у a², получится другое выражение: вклад остальных членов останется неверным.

Знак перед скобками показывает, как скобки связаны с остальной записью. Если перед ними стоит «+», знаки всех членов сохраняются; если «−» — каждый знак меняется на противоположный. Когда знака нет, подразумевается «+», как в записи x + (y − 1). Удобно мысленно записывать знак перед каждым членом: так легче не потерять минус, особенно если сам член уже отрицательный.

После раскрытия скобок выражение может содержать несколько слагаемых с одинаковой буквенной частью. Их объединяют, а одиночные слагаемые оставляют без изменений. Затем члены обычно располагают по убыванию степеней: сначала с наибольшей степенью, потом с меньшей. Такая стандартная запись делает результат короче и помогает заметить, остались ли необъединённые подобные слагаемые.

Правила сложения и вычитания многочленов

Сначала определите, складываете вы многочлены или вычитаете: от этого зависит, сохраняются ли знаки в скобках или меняются. Затем объедините только слагаемые с одинаковой буквенной частью. В конце проверьте, что ответ записан без лишних скобок и, если нужно, по убыванию степеней.

Разбор задач

В каждой задаче сначала разберёмся со знаками перед скобками, а уже потом будем считать коэффициенты. Такой порядок помогает не спутать раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. После преобразования проверим, можно ли объединить оставшиеся члены. Ответ запишем в стандартном виде.

Задача 1

Упростить выражение: (3x² − 5x + 2) + (x² + 2x − 7). Перед второй скобкой стоит плюс, поэтому её слагаемые сохраняют знаки. Подобными здесь будут члены с x², члены с x и числа. Выполним действия отдельно для каждой такой группы.

1. Раскроем скобки: 3x² − 5x + 2 + x² + 2x − 7.
2. Объединим подобные: (3x² + x²) + (−5x + 2x) + (2 − 7).
3. Вычислим коэффициенты: 4x² − 3x − 5.

Ответ: 4x² − 3x − 5. Степени расположены по убыванию, и слагаемых с одинаковой буквенной частью больше нет. Числа 2 и −7 тоже являются подобными слагаемыми: у них нет буквенной части.

Задача 2

Упростить выражение: (4a² − 3a + 6) − (a² + 5a − 2). Перед второй скобкой стоит минус, поэтому нельзя сразу убрать скобки, оставив её знаки прежними. Сначала запишем противоположный многочлен: −a² − 5a + 2. Теперь можно объединить члены с одинаковой буквенной частью.

1. Раскроем скобки с учётом минуса: 4a² − 3a + 6 − a² − 5a + 2.
2. Сгруппируем подобные слагаемые: (4a² − a²) + (−3a − 5a) + (6 + 2).
3. Выполним действия: 3a² − 8a + 8.

Ответ: 3a² − 8a + 8. Проверить знаки можно, отдельно перечитав второй многочлен: каждый его знак после вычитания стал противоположным. В частности, член −2 превратился в +2, а не остался отрицательным.

Задача 3

Упростить выражение и найти его значение при x = −2: 2x³ − (3x² − 4x + 1) + (x³ − 2x² + 5). Сначала приведём выражение к стандартному виду, потому что подставлять число удобнее в сокращённый многочлен. В первой скобке перед выражением стоит минус, значит, все её знаки нужно изменить. Перед второй скобкой плюс, поэтому её знаки сохраняются.

1. Раскроем скобки: 2x³ − 3x² + 4x − 1 + x³ − 2x² + 5.
2. Объединим подобные слагаемые: (2x³ + x³) + (−3x² − 2x²) + 4x + (−1 + 5) = 3x³ − 5x² + 4x + 4.
3. Подставим x = −2: 3·(−2)³ − 5·(−2)² + 4·(−2) + 4 = −24 − 20 − 8 + 4.
4. Вычислим: −24 − 20 − 8 + 4 = −48.

Ответ: многочлен 3x³ − 5x² + 4x + 4; при x = −2 его значение равно −48. При подстановке важно возводить отрицательное число в скобках в степень: (−2)³ = −8, а (−2)² = 4. Это помогает не перепутать знак значения и порядок действий.

Типичные ошибки

При вычитании иногда меняют знак только у первого члена второй скобки. Так происходит, если минус воспринимают как знак одного слагаемого, хотя он относится ко всему вычитаемому многочлену. Чтобы проверить себя, мысленно умножьте каждый член в скобках на −1: каждый знак должен измениться.

Другая ошибка — объединять слагаемые с разными степенями одной буквы, например x и x². Наличие общей буквы не делает их подобными: буквенная часть должна совпадать полностью. Перед вычислением сопоставьте буквы и их степени; если они различаются, перенесите слагаемые в ответ отдельно.

При раскрытии скобок можно потерять знак минус перед отрицательным членом. Например, в выражении −(a − 2) второй член становится +2, а не −2: минус меняет и его знак. Проверяйте каждый член по отдельности и записывайте результат раскрытия скобок до объединения слагаемых.

Иногда подобные слагаемые остаются необъединёнными, например ответ записывают как 2x + 3x − 1. Это обычно случается, когда после раскрытия скобок не делают заключительную проверку. Сравните буквенные части всех членов: здесь 2x + 3x нужно заменить на 5x, а −1 оставить отдельно.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами нужны знания об одночленах, коэффициенте, степени многочлена и приведении подобных слагаемых: без них нельзя правильно определить, какие члены объединять. Правила действий с положительными и отрицательными числами помогают считать коэффициенты и следить за знаками. Дальше умение упрощать многочлены пригодится при их умножении, разложении на множители и преобразовании алгебраических выражений. Во всех этих случаях аккуратная работа со знаками и подобными членами помогает получить верный результат.

Что запомнить

• При сложении многочленов раскрывают скобки и объединяют подобные слагаемые.
• Знак «+» перед скобками сохраняет знаки всех членов внутри.
• Знак «−» перед скобками изменяет знаки всех членов внутри.
• Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть.
• При приведении подобных слагаемых складывают или вычитают только коэффициенты.
• Ответ обычно записывают в стандартном виде.
• Вычитание многочлена можно заменить прибавлением противоположного многочлена.