"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Многочлены складывают и вычитают, чтобы упростить алгебраические выражения и подготовить их к дальнейшим преобразованиям. При сложении скобки раскрывают без изменения знаков, а при вычитании меняют знак каждого члена вычитаемого многочлена. Затем находят подобные слагаемые: складывают или вычитают их коэффициенты, сохраняя буквенную часть. Члены с разными буквенными частями или степенями объединить нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — сумма одночленов, то есть выражение из числовых и буквенных множителей, соединённых знаками сложения или вычитания. Например, 3x² − 2x + 1 — многочлен; его одночлены могут быть подобными. Это понятие нужно, чтобы описывать выражения, которые мы будем складывать, вычитать и упрощать.
Подобные члены многочлена — одночлены с одинаковой буквенной частью и одинаковыми степенями переменных. Например, 4ab² и −7ab² подобны, а ab² и a²b — нет. Благодаря этому признаку можно понять, какие слагаемые разрешено объединить.
Сумма многочленов — результат сложения их членов с приведением подобных членов. Чтобы её получить, члены обоих многочленов рассматривают как слагаемые одного выражения. Сумма помогает заменить несколько выражений одним более простым.
Разность многочленов — результат вычитания одного многочлена из другого. Она равносильна сумме уменьшаемого и противоположного вычитаемому многочлена: A − B = A + (−B). Это равенство позволяет выполнять вычитание по правилам сложения, предварительно изменив знаки членов вычитаемого.
При сложении многочлены сначала записывают в скобках, чтобы видеть, какие члены принадлежат каждому слагаемому. Перед первой скобкой обычно стоит плюс, поэтому при её раскрытии знаки членов сохраняются. То же верно для второй скобки: к первому многочлену просто добавляются все члены второго. После этого можно спокойно искать одинаковые буквенные части и приводить подобные.
У подобных одночленов буквенная часть общая, поэтому их можно представить как несколько одинаковых частей, взятых разное число раз. Например, 3x² + 5x² — это три части x² и ещё пять таких частей, то есть 8x². Складываются коэффициенты, а буквенная часть остаётся прежней. Если же степени или буквы различаются, общую часть таким способом выделить нельзя, поэтому слагаемые оставляют отдельно.
Вычитание многочлена заменяют сложением с противоположным ему многочленом. Для этого перед вычитаемым выражением ставят минус: умножение каждого его члена на −1 меняет знак каждого слагаемого. Например, −(a² + 2a − 5) = −a² − 2a + 5. Нельзя менять знаки только у некоторых членов, потому что тогда получится уже другое выражение.
После раскрытия скобок при вычитании подобные члены приводят так же, как при сложении. Но сначала нужно определить знак каждого коэффициента: он может быть как записан явно, так и подразумеваться. Удобно переписать выражение без скобок и только потом собрать одинаковые буквенные части. Такая проверка не даёт случайно сложить положительный коэффициент с отрицательным вместо их разности.
Результат удобно записывать в стандартном виде: сначала привести подобные члены, затем расположить оставшиеся слагаемые по убыванию степеней буквенной части. Например, члены с x³ обычно ставят перед членами с x², затем записывают слагаемые с x и свободное число. Упорядочивание не меняет значения многочлена, поскольку слагаемые можно переставлять. Оно помогает быстрее увидеть итог и проверить, не пропущена ли какая-либо степень.
| Действие | Как раскрыть скобки | Что делать с подобными членами | Ключевая проверка |
|---|---|---|---|
| Сложение многочленов | Убрать скобки, сохранив все знаки | Сложить коэффициенты подобных членов | Знаки слагаемых не изменились |
| Вычитание многочленов | Изменить знак каждого члена вычитаемого | Привести подобные после раскрытия скобок | Знак поменялся у каждого члена в скобках |
| Приведение подобных членов | Сгруппировать слагаемые с одинаковой буквенной частью | Сложить или вычесть коэффициенты, буквы сохранить | Степени и буквенная часть совпадают |
| Запись результата в стандартном виде | Убедиться, что скобки уже раскрыты | Оставить неподобные члены отдельно | Слагаемые расположены по убыванию степеней |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: определи, складываешь ты многочлены или вычитаешь, и раскрой скобки по нужному правилу. Затем объедини только подобные члены и проверь знаки коэффициентов. Последняя строка подсказывает, как аккуратно оформить готовый результат.
Найдите сумму многочленов (3x² − 2x + 1) и (x² + 5x − 4). Здесь обе скобки являются слагаемыми, поэтому при раскрытии ни один знак менять не нужно. Чтобы не пропустить слагаемые, удобно сначала записать все члены подряд, а затем объединить степени x, которые совпадают.
Ответ: 4x² + 3x − 3. Проверить можно по группам: коэффициенты при x² дают 4, при x дают 3, а свободные числа дают −3. Буквенные части при объединении остались прежними.
Вычтите из многочлена 4a² − 3a + 2 многочлен a² + 2a − 5. Слова «из первого вычесть второй» задают порядок: уменьшаемое стоит первым, а вычитаемое — вторым. Перед второй скобкой будет минус, поэтому каждый её член нужно взять с противоположным знаком.
Ответ: 3a² − 5a + 7. Отдельно проверь раскрытие второй скобки: знак у −5 стал плюсом, как и знаки у остальных членов изменились на противоположные. Коэффициенты теперь объединяются по одинаковым степеням a.
Упростите выражение (2x³ − x² + 4x − 3) − (x³ + 2x² − 5x + 1) + (3x² − x + 2). В этом примере есть и вычитание, и сложение, поэтому знаки меняются только во второй скобке. Чтобы не ошибиться, раскроем скобки до группировки слагаемых, а затем соберём отдельно x³, x², x и свободные числа.
Ответ: x³ + 8x − 2. Проверка показывает, что кубические члены дают x³, квадратичные взаимно уничтожаются, а линейные дают 8x. Свободные числа в сумме равны −2.
При вычитании иногда меняют знак только у первого члена в скобках. Это происходит, когда минус воспринимают как знак перед всем выражением, но забывают раскрыть скобки полностью. Проверь каждый член по очереди: если перед скобкой минус, плюсы должны стать минусами, а минусы — плюсами.
Другая ошибка — складывать или вычитать буквенные части вместо коэффициентов. Например, из 5x² и 2x² получают не 7x⁴, а 7x²: число при одинаковой части x² меняется, сама часть остаётся. Для проверки выдели коэффициенты отдельно и убедись, что буквы и степени в результате не изменились.
Нельзя объединять неподобные члены, например x² и x. Их буквенная часть отличается степенью, поэтому они обозначают разные слагаемые и должны остаться в выражении отдельно. Перед приведением сравни буквенную часть каждого члена вместе со степенями; если есть отличие, ставить их в одну группу нельзя.
Можно потерять знак коэффициента или перепутать порядок вычитания. Например, A − B обычно не равно B − A, потому что при перестановке меняется, какой многочлен вычитают. Запиши выражение с исходным порядком и проверь знаки после раскрытия скобок; при сомнении сравни получившиеся группы коэффициентов.
Чтобы уверенно складывать и вычитать многочлены, нужно уметь раскрывать скобки, умножать одночлен на многочлен и приводить подобные слагаемые. Эти навыки помогают правильно менять знаки и находить одинаковые буквенные части. Сложение и вычитание многочленов затем используются при умножении многочленов, тождественных преобразованиях и решении уравнений. Поэтому аккуратная работа со скобками пригодится во многих следующих темах алгебры.
Какие одночлены называют подобными?
Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть с одинаковыми степенями переменных. Их коэффициенты могут различаться, например, 3x² и −5x² подобны, а x² и x — нет.
Почему при сложении многочленов знаки членов в скобках не меняются?
Перед скобками при сложении стоит знак плюс, а прибавление выражения не меняет его слагаемые. Поэтому скобки можно убрать, сохранив знаки всех членов.
Почему при вычитании многочлена нужно поменять знаки всех его членов?
Вычитание заменяют сложением противоположного многочлена. Противоположное выражение получается, если каждый его член умножить на −1, поэтому знак меняется у каждого члена.
Можно ли складывать члены с разными степенями одной переменной?
Нет, такие члены не являются подобными и их нельзя объединить. Например, x² и x остаются отдельными слагаемыми, поскольку степени переменной различаются.
Как проверить, что подобные члены приведены правильно?
Сначала проверь, что у объединённых членов совпадают буквенная часть и степени переменных. Затем сложи или вычти только их коэффициенты, сохранив буквенную часть, и отдельно проверь знаки.
26. Сложение и вычитание многочленов
