25. Многочлен и его стандартный вид

Определения и обозначения

Многочлен — это сумма одночленов. Одночлены могут соединяться знаками «плюс» и «минус», поэтому выражение 4x² − 3x + 7 тоже является многочленом. Это понятие позволяет рассматривать длинное выражение как набор отдельных частей.

Член многочлена — одночлен, входящий в его запись. В многочлене 4a² − 3a + 7 членами будут 4a², −3a и 7: знак перед одночленом относится к нему. Такое чтение помогает не потерять минус при преобразованиях.

Стандартный вид многочлена — запись, в которой каждый член имеет стандартный вид, подобные члены приведены, а сами члены расположены по убыванию степени. Например, 3x + 2x² − 1 записывают как 2x² + 3x − 1. Такая форма делает строение выражения заметным.

Степень многочлена — наибольшая степень его членов после приведения подобных членов. В стандартном виде её находят по первому члену, если члены записаны по убыванию степени. Например, в 5x³ − 2x + 1 степень равна 3.

Как это устроено

Многочлен составляется из одночленов, которые складываются с учётом знаков. Выражение 3x² − 2x + 5 можно прочитать как сумму 3x², −2x и 5. Такой способ удобен, потому что вычитание заменяется присоединением отрицательного члена, а для всех частей применяются одни и те же правила.

Чтобы получить стандартный вид, сначала приводят каждый одночлен к стандартному виду: переменные записывают в принятом порядке, а одинаковые множители объединяют. Затем сравнивают буквенные части и ищут подобные члены. Только после этого выполняют сложение или вычитание коэффициентов, иначе легко объединить неподходящие слагаемые.

Подобными являются одночлены с одинаковой буквенной частью, то есть с теми же переменными и теми же показателями степеней. Например, 3a²b и −7a²b подобны, потому что их буквенная часть a²b совпадает. При сложении 3a²b − 7a²b складываются коэффициенты 3 и −7, а буквенная часть сохраняется: −4a²b.

Члены записывают по убыванию степени, чтобы сначала стояли самые высокие степени переменных. Это не изменяет значения многочлена, но делает запись упорядоченной. По первому члену стандартного многочлена можно сразу увидеть старший член и определить степень всего выражения.

Иногда после объединения подобных членов получается нулевой коэффициент, и такой член исчезает. Например, 4x³ − 4x³ + 2x = 2x, поэтому степень результата равна 1, а не 3. Степень всегда определяют по окончательной записи, потому что прежние члены могли сократиться.

Преобразование многочлена к стандартному виду

Пользуйся таблицей как алгоритмом: переходи к следующему этапу только после выполнения предыдущего. Если подобные члены не найдены, их не объединяют, а сразу упорядочивают по степеням. После каждого преобразования полезно проверять знаки и не изменившиеся буквенные части.

Разбор задач

Задача 1

Укажите члены многочлена 4a² − 3a + 7 и коэффициент каждого члена. Сначала нужно разделить запись по знакам, помня, что минус относится к следующему одночлену. Затем у каждого члена выделить числовой множитель.

1. Члены многочлена: 4a², −3a и 7.
2. Коэффициент 4a² равен 4, коэффициент −3a равен −3.
3. Постоянный член 7 можно записать как 7 · 1, поэтому его коэффициент равен 7.

Ответ: 4a², −3a, 7; их коэффициенты соответственно 4, −3 и 7.

Задача 2

Приведите многочлен 2x² + 5x − 3x² + 4 − 2x к стандартному виду и укажите его степень. Здесь есть две пары подобных членов: с x² и с x. Постоянный член 4 ни с чем не объединяется.

1. Сгруппируем подобные члены: 2x² − 3x² + 5x − 2x + 4.
2. Объединим их: (2 − 3)x² + (5 − 2)x + 4 = −x² + 3x + 4.
3. Члены уже стоят по убыванию степеней: 2, 1 и 0.

Ответ: −x² + 3x + 4; степень многочлена равна 2.

Задача 3

Приведите к стандартному виду многочлен 3ab − 2a²b + 5ba + 2a²b − 4ab и определите его степень. Перед поиском подобных членов нужно заметить, что ab и ba обозначают одну и ту же буквенную часть. После объединения обязательно проверим, не исчезли ли члены старшей степени.

1. Запишем одинаковые буквенные части единообразно: 3ab − 2a²b + 5ab + 2a²b − 4ab.
2. Объединим подобные члены: (3 + 5 − 4)ab + (−2 + 2)a²b = 4ab.
3. Члены a²b исчезли, потому что их коэффициенты дали ноль.

Ответ: 4ab; степень многочлена равна 2, так как в одночлене ab сумма показателей равна 1 + 1 = 2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать подобными x² и x. Их буквенные части различаются показателями степени, поэтому объединять их нельзя. Проверь себя: выпиши переменные с показателями и сравни всю буквенную часть, а не только букву.

Ошибка: складывать буквенные части вместо коэффициентов. Например, из 3a² и 5a² получается 8a², а не 8a⁴. Проверка проста: буквенная часть должна остаться прежней.

Ошибка: потерять знак минус перед членом или изменить его при переписывании. В выражении −3a коэффициентом является −3, а не 3. Перечитай исходную запись и поставь знак каждого члена перед ним в новой строке.

Ошибка: находить степень до приведения подобных членов. Старшие члены могут уничтожиться, как в 4x³ − 4x³ + 2x. Сначала упрости многочлен полностью, затем ищи наибольшую степень в результате.

Связь с другими темами

До изучения многочленов нужно знать, что такое одночлен, коэффициент, буквенная часть, степень одночлена и подобные одночлены. Эти понятия нужны, чтобы правильно распознавать члены и выполнять их объединение. Если одночлены пока вызывают трудности, сначала повтори их стандартную запись.

Стандартный вид используется дальше при сложении и вычитании многочленов, умножении многочлена на одночлен и разложении выражений на множители. Упорядоченная запись помогает заметить одинаковые части и выбрать нужное преобразование. Поэтому приведение многочлена к стандартному виду — основа многих алгебраических действий.

Что запомнить

• Многочлен — сумма одночленов.
• Знак каждого члена учитывают вместе с его коэффициентом.
• Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть.
• При приведении подобных членов складывают коэффициенты.
• В стандартном виде подобные члены уже приведены.
• Члены стандартного многочлена записывают по убыванию степени.
• Степень многочлена находят по члену наибольшей степени после приведения подобных.