"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Многочлены складывают и вычитают, чтобы упрощать алгебраические выражения и готовить их к дальнейшим вычислениям. Для сложения достаточно раскрыть скобки и собрать подобные слагаемые. При вычитании перед скобками ставят минус, поэтому знак каждого слагаемого внутри меняется на противоположный. После раскрытия скобок складывают коэффициенты только у слагаемых с одинаковой буквенной частью. Эти правила помогают аккуратно преобразовывать выражения и не терять знаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — сумма одночленов, например 3x² − 2x + 5. Чтобы распознать многочлен, проверьте, что его части — одночлены, соединённые знаками сложения или вычитания. Перед вычислениями одночлен записывают в стандартном виде: числовой множитель ставят перед буквами, а степени переменных указывают показателями.
Сумма многочленов — выражение, полученное сложением двух или нескольких многочленов. Например, (x + 2) + (3x − 1) — сумма двух многочленов. Это понятие нужно, чтобы объединять выражения и затем упрощать их, находя одинаковые по буквенной части слагаемые.
Разность многочленов — выражение, полученное вычитанием одного многочлена из другого. В записи (4a − 3) − (a + 2) первый многочлен уменьшают на второй. Такое обозначение помогает отличить вычитаемый многочлен и правильно обработать его знаки.
Противоположный многочлен — многочлен, сумма которого с исходным многочленом равна нулю. Например, для 2x − 3 противоположным будет −2x + 3. Он нужен, чтобы представить вычитание как сложение и объяснить смену знаков перед скобками.
Чтобы сложить многочлены, запишите каждый из них в скобках и поставьте между скобками знак сложения. Затем раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Это работает потому, что сложение многочленов означает сложение всех входящих в них одночленов, а порядок слагаемых в сумме можно менять.
Если перед скобками стоит плюс, знаки внутри остаются прежними. Например, +(x − 4) означает, что к выражению прибавляют и x, и −4, поэтому после удаления скобок получается x − 4. Смена знаков изменила бы сами слагаемые, а значит, вместо исходного многочлена прибавлялось бы другое выражение.
При вычитании заключите вычитаемый многочлен в скобки, перед которыми поставьте минус. Раскрывая такие скобки, поменяйте знак каждого слагаемого на противоположный. Минус относится ко всему многочлену, а не только к его первому члену, поэтому нужно обработать все слагаемые.
Причина смены знаков видна через противоположный многочлен: вычесть выражение — то же самое, что прибавить выражение с противоположными знаками. Например, вычитание x − 3 заменяется сложением −x + 3. При сложении исходного многочлена с противоположным каждый член сокращается с парным ему членом, и получается ноль.
После раскрытия скобок найдите подобные слагаемые и сложите их коэффициенты. Подобными называют слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 2x и −5x; x² и x подобными не являются. Слагаемые можно переставлять и группировать, потому что порядок сложения не меняет сумму, но знак каждого члена нужно переносить вместе с ним.
| Действие | Как записать | Как раскрыть скобки | Что сделать после |
|---|---|---|---|
| Сложение многочленов | (A) + (B) | Знаки слагаемых сохранить | Привести подобные слагаемые |
| Вычитание многочленов | (A) − (B) | Изменить знаки всех слагаемых в B | Привести подобные слагаемые |
| Сложение с противоположным многочленом | (A) + (−B) | Записать каждый член B с противоположным знаком | Привести подобные слагаемые |
В таблице A и B обозначают любые многочлены, а запись в скобках помогает не потерять границы каждого выражения. Сначала выберите строку по знаку действия между многочленами, затем выполните указанное правило раскрытия скобок. В конце объедините только подобные слагаемые.
Найдём сумму многочленов 3x + 2 и x − 5. При сложении оба выражения входят в результат со своими знаками, поэтому важно не менять знаки во второй скобке. После раскрытия скобок объединим слагаемые с x и отдельно числа.
Ответ: 4x − 3. Проверка подстановкой, например при x = 1, даёт 5 + (−4) = 1 и 4 · 1 − 3 = 1. Значения исходной суммы и результата совпали.
Теперь найдём разность многочленов 4a² − 3a + 1 и a² + 2a − 6. Второй многочлен вычитают целиком, поэтому минус перед ним должен изменить знаки всех трёх слагаемых. После этого можно сгруппировать члены с a², с a и числа.
Ответ: 3a² − 5a + 7. Знаки второго многочлена изменились все: плюс у a² стал минусом, плюс у 2a — минусом, а минус у 6 — плюсом. Если изменить только один знак, получится другая разность.
Упростим выражение (2x² − 3x + 4) − (x² + 2x − 1) + (3x² − x − 5). Здесь нужно отдельно следить за минусом перед второй группой и плюсом перед третьей. После раскрытия скобок удобно объединить одночлены одинаковой степени.
Ответ: 4x² − 6x. Члены с x² объединились отдельно от членов с x, а постоянные числа дали ноль. Такая группировка помогает проверить, что ни одно слагаемое не потеряно.
При вычитании иногда меняют знак только у первого слагаемого в скобках. Так происходит, если воспринимать минус как знак лишь ближайшего члена, хотя он относится ко всему вычитаемому многочлену. Проверьте себя: поставьте напротив каждого слагаемого вычитаемого многочлена его противоположный знак.
При сложении могут ошибочно изменить знаки в скобках, перед которыми стоит плюс. Обычно это случается, когда правило для минуса переносят на любое действие со скобками. Чтобы проверить запись, уберите скобки после плюса: все знаки внутри должны остаться такими же.
Нельзя складывать коэффициенты у неподобных слагаемых, например у 2x² и 3x. Ошибка возникает, когда замечают общую букву, но не учитывают её степень. Сравните буквенные части целиком: объединять можно только одинаковые части, например 2x и 3x или 2x² и 3x².
При переносе или перестановке членов иногда теряют знак, например записывают −3x как 3x. Это происходит, если считать знак отдельным от слагаемого. Проверяйте каждый член вместе со знаком перед ним и после группировки убеждайтесь, что все исходные слагаемые учтены.
Перед сложением и вычитанием многочленов нужно уметь раскрывать скобки, распознавать подобные слагаемые и приводить их. Эти действия опираются на распределительное свойство: знак перед скобками влияет на каждый член внутри. Если повторить эти навыки, легче увидеть, какие слагаемые можно объединить.
Преобразование многочленов используют при упрощении алгебраических выражений и решении уравнений. В уравнениях одинаковые выражения часто приводят к более короткой записи, чтобы удобнее было находить неизвестное. Аккуратная работа со знаками сохраняет равенство и помогает избежать неверного ответа.
Почему при вычитании многочлена нужно менять знаки у всех слагаемых?
Вычитание равносильно сложению с противоположным многочленом. Чтобы получить противоположный многочлен, каждый его член нужно взять с противоположным знаком. Поэтому минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри.
Нужно ли менять знаки в скобках, перед которыми стоит плюс?
Нет, плюс перед скобками не меняет знаки слагаемых. Он означает, что многочлен прибавляют целиком. Поэтому скобки можно просто убрать, сохранив все знаки.
Можно ли складывать слагаемые с разными степенями одной переменной?
Нет, такие слагаемые не являются подобными, поэтому их нельзя объединить. Например, 2x² и 3x имеют разные буквенные части. Их можно оставить рядом в одном многочлене.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки со знаком минус?
Проверьте по очереди каждый член вычитаемого многочлена: его знак должен стать противоположным. Например, −(x² + 2x − 1) раскрывается как −x² − 2x + 1. Можно также проверить преобразование, подставив одно и то же значение переменной в исходное и полученное выражения.
В каком порядке удобнее приводить подобные слагаемые?
Сначала удобно сгруппировать члены с одинаковой буквенной частью: отдельно слагаемые с x², с x и числа. Затем сложить коэффициенты в каждой группе. Порядок групп можно выбрать так, чтобы запись была понятной.
§ 9. Сумма и разность многочленов
