§ 9. Сумма и разность многочленов

Определения и обозначения

Многочлен — алгебраическая сумма одночленов, то есть выражение из чисел и букв, соединённых знаками сложения или вычитания. Например, 3x² − 2x + 1 состоит из членов 3x², −2x и 1. Члены могут содержать буквы или быть числами, а знаки показывают, складываются они или вычитаются.

Подобные члены многочлена — одночлены с одинаковой буквенной частью. Например, 4a² и −7a² подобны: у них совпадает буква a и её степень 2, хотя коэффициенты 4 и −7 различаются. Понятие нужно, чтобы определить, какие члены можно объединить при упрощении выражения.

Сумма многочленов — результат их сложения. Чтобы её получить, записывают вместе члены обоих многочленов, а затем приводят подобные, то есть объединяют члены с одинаковой буквенной частью. Так выражение становится короче, но сохраняет то же значение.

Разность многочленов — результат вычитания одного многочлена из другого. Её можно представить как сумму уменьшаемого и противоположного вычитаемому многочлена: у противоположного каждый член имеет обратный знак. Эта запись помогает правильно раскрыть скобки и не потерять знак ни одного слагаемого.

Как это устроено

Когда перед скобками стоит знак «плюс», скобки можно убрать, не меняя знаки внутри. Это происходит потому, что прибавить выражение — значит прибавить каждый его член с тем знаком, который уже указан. Например, (x − 3) + (2x + 1) превращается в x − 3 + 2x + 1, а не в x − 3 − 2x − 1.

После сложения ищут члены с одинаковой буквенной частью. Их можно сгруппировать, потому что складываются одночлены одного и того же вида: например, 3x + 5x означает три x и ещё пять x, то есть 8x. Поэтому складывают коэффициенты, а буквенную часть оставляют прежней; члены без пары пока не меняют.

При вычитании многочлена меняются знаки всех его членов, потому что вычитание заменяют сложением противоположного многочлена. Например, противоположный к x² + 3x − 2 состоит из −x² − 3x + 2. Изменение только одного знака не создаёт противоположный многочлен, поэтому результат будет неверным.

Чтобы записать разность, сначала заключают вычитаемый многочлен в скобки после знака минус. Затем меняют знаки каждого члена в этих скобках и убирают скобки; после этого находят подобные члены и приводят их. Такой порядок помогает не пропустить знак, особенно если многочлен содержит и сложение, и вычитание.

Сложение можно проверить перестановкой слагаемых: при смене их порядка сумма не меняется. Для проверки вычитания используют обратное действие: к разности прибавляют вычитаемый многочлен и должны получить исходный многочлен, из которого вычитали. Проверка помогает обнаружить ошибку в знаках или при приведении подобных членов.

Правила сложения и вычитания многочленов

Сначала определи действие по знаку перед скобками: плюс сохраняет знаки, минус меняет знаки вычитаемого многочлена. Затем найди одинаковые буквенные части и объедини только их. Если похожего члена нет, оставь его в ответе отдельно.

Разбор задач

Упростить выражение (3x + 2) + (x − 5). Здесь складываются два многочлена, а перед вторыми скобками стоит плюс, поэтому менять знаки не нужно. После раскрытия скобок достаточно собрать вместе члены с x и отдельно числа.

1. Убираем скобки, сохраняя знаки: 3x + 2 + x − 5.
2. Группируем подобные члены: (3x + x) + (2 − 5).
3. Складываем коэффициенты и числа: 4x − 3.

Ответ: 4x − 3. Проверить его можно, подставив вместо x одно и то же число в исходное выражение и в результат. Например, при x = 1 обе записи дают 1.

Найти сумму многочленов 2a² − 3a + 1 и −a² + 5a − 4. Составим сумму, записав второй многочлен после первого в скобках. Перед скобками плюс, значит, все знаки остаются прежними; затем сопоставим члены с a², с a и свободные числа.

1. Записываем сумму: (2a² − 3a + 1) + (−a² + 5a − 4).
2. Раскрываем скобки: 2a² − 3a + 1 − a² + 5a − 4.
3. Приводим подобные: (2 − 1)a² + (−3 + 5)a + (1 − 4) = a² + 2a − 3.

Ответ: a² + 2a − 3. Коэффициенты складывались только у членов с одинаковыми буквенными частями. Например, a² и a не объединяются, поскольку степени буквы различны.

Найти разность многочленов 4x² − 2xy + y² и x² + 3xy − 2y². Первый многочлен уменьшаем на второй, поэтому второй нужно заключить в скобки после знака минус. Каждому члену вычитаемого меняем знак, а затем сравниваем члены с x², xy и y².

1. Записываем разность: (4x² − 2xy + y²) − (x² + 3xy − 2y²).
2. Меняем знаки всех членов второго многочлена: 4x² − 2xy + y² − x² − 3xy + 2y².
3. Приводим подобные: (4 − 1)x² + (−2 − 3)xy + (1 + 2)y² = 3x² − 5xy + 3y².

Ответ: 3x² − 5xy + 3y². Для проверки прибавим к ответу вычитаемый многочлен: 3x² − 5xy + 3y² + x² + 3xy − 2y² = 4x² − 2xy + y². Получился первый многочлен, значит, разность найдена верно.

Типичные ошибки

При сложении иногда меняют знаки членов второго многочлена, принимая плюс перед скобками за минус. Но плюс означает, что исходные знаки сохраняются; поменять их нужно при вычитании. Проверь себя: после удаления скобок со знаком плюс каждый член должен остаться с прежним знаком.

При вычитании можно изменить знак только у первого члена вычитаемого многочлена. Ошибка возникает, если забыть, что знак минус относится ко всему многочлену в скобках. Чтобы проверить запись, пройдись по каждому члену вычитаемого и убедись, что его знак стал противоположным.

Ещё одна ошибка — складывать вместе буквенные части и коэффициенты, например считать 2x + 3x равным 5xx. Здесь складываются только коэффициенты, а общая буквенная часть сохраняется: 2x + 3x = 5x. Проверь результат обратной подстановкой: при x = 1 обе записи должны иметь одинаковое значение.

Нельзя объединять неподобные члены, например x² и x. У них разные буквенные части, потому что в первом случае переменная возведена во вторую степень, а во втором — в первую. Перед приведением сравни переменные и их степени: если они отличаются, оставь члены в ответе раздельно.

Связь с другими темами

Для работы с многочленами нужно знать, что такое одночлен и его коэффициент, а также уметь распознавать подобные одночлены. Пригодится и раскрытие скобок: при плюсе знаки сохраняются, а при минусе меняются. Эти умения помогают выполнить преобразование без ошибок.

Сложение и вычитание многочленов используют при упрощении алгебраических выражений и дальнейших преобразованиях. Чем точнее выполнены раскрытие скобок и приведение подобных членов, тем удобнее работать с полученным выражением. Те же правила помогают проверять вычисления обратным действием.

Что запомнить

• Слагаемые многочленов можно записывать рядом без скобок.
• При сложении знаки членов сохраняются.
• При вычитании меняют знак каждого члена вычитаемого многочлена.
• Подобные члены приводят, складывая их коэффициенты.
• Неподобные члены нельзя объединить.
• Результат сложения или вычитания многочленов записывают в упрощённом виде.