"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Абсолютная и относительная погрешность показывают, насколько приближённое значение отличается от точного. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах, что и сама величина, а относительная показывает долю ошибки по сравнению с точным значением. Эти понятия нужны при округлении, измерениях и вычислениях, когда точное значение неизвестно или неудобно использовать.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Точное значение — значение величины, соответствующее самой величине без приближения; обозначим его буквой x. Например, настоящая длина отрезка может быть точным значением. Оно служит эталоном, с которым сравнивают результат измерения или вычисления.
Приближённое значение — число a, близкое к точному значению x и используемое вместо него. Оно появляется, например, при измерении линейкой или округлении числа. Такое значение удобно для практических вычислений, хотя может немного отличаться от точного.
Абсолютная погрешность — модуль разности между точным и приближённым значениями: |x − a|. Модуль нужен, чтобы результат не зависел от того, больше или меньше приближённое число. Эта величина показывает размер отклонения в обычных единицах.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: |x − a| / |x|, если x ≠ 0. Она показывает, насколько велика ошибка по сравнению со всей величиной. Часто относительную погрешность записывают в процентах.
В жизни точное значение часто неизвестно или его трудно получить. Измерительный прибор имеет ограниченную точность, а длинные числа неудобно использовать в вычислениях, поэтому берут приближённые значения. Округление, измерение и расчёт по формуле заменяют точное число более удобным, но возможное отличие нужно оценивать.
Чтобы найти абсолютную погрешность, из точного значения вычитают приближённое: x − a. Если приближённое значение больше точного, разность будет отрицательной, хотя размер отклонения отрицательным быть не может. Поэтому берут модуль и получают |x − a|, то есть расстояние между двумя числами на числовой прямой.
Абсолютная погрешность имеет те же единицы измерения, что и измеряемая величина. Если длину измеряют в сантиметрах, то и её абсолютная погрешность выражается в сантиметрах; для массы это будут граммы или килограммы. Так происходит потому, что в формуле вычитаются две величины одного вида.
Одна и та же абсолютная ошибка может быть очень заметной для маленькой величины и почти незаметной для большой. Поэтому абсолютной погрешности недостаточно, чтобы сравнивать качество измерений разных объектов. Деление |x − a| на |x| показывает, какую долю от самого точного значения составляет ошибка, и даёт относительную погрешность.
При делении величины на такую же величину единицы сокращаются, поэтому относительная погрешность безразмерна. Чтобы сделать результат более понятным, его умножают на 100%: например, 0,04 превращается в 4%. Сравнивая проценты, можно определить, какое из измерений относительно точнее, даже если измеряемые величины имеют разные единицы или размеры.
| Характеристика | Абсолютная погрешность | Относительная погрешность |
|---|---|---|
| Что показывает | Размер отклонения приближённого значения от точного | Долю ошибки по сравнению с точным значением |
| Формула | |x − a| | |x − a| / |x|, x ≠ 0 |
| Единицы измерения | Те же, что у величины | Единиц измерения не имеет |
| Как записывается в процентах | Обычно не переводится в проценты | (|x − a| / |x|) · 100% |
| Для чего используется | Чтобы узнать величину отклонения в исходных единицах | Чтобы оценить и сравнить относительную точность |
Сначала определите, что требуется найти: размер отклонения или его долю от точного значения. Для относительной погрешности сначала найдите абсолютную, затем разделите её на |x|.
Если нужен ответ в процентах, умножьте полученную десятичную дробь на 100%. При сравнении измерений смотрите на относительные погрешности, а не только на абсолютные.
Условие: точное значение величины равно 7,3, а приближённое — 7,2. Нужно найти абсолютную погрешность. Здесь важно определить, насколько отличаются два значения, не выясняя, в какую сторону произошло отклонение.
Ответ: абсолютная погрешность равна 0,1.
Условие: число 18,7 округлили до 19. Нужно найти абсолютную и относительную погрешности приближённого значения. Точным считаем исходное число 18,7, а приближённым — результат округления 19.
Ответ: абсолютная погрешность равна 0,3, относительная — примерно 0,016, или 1,6%.
Условие: длину одного отрезка измерили как 20 см с абсолютной погрешностью 0,2 см, а другого — как 5 см с погрешностью 0,1 см. Нужно сравнить точность измерений, поэтому одних абсолютных ошибок недостаточно.
Ответ: точнее измерение отрезка длиной 20 см, хотя его абсолютная погрешность больше.
Иногда записывают разность x − a без модуля и получают отрицательную абсолютную погрешность. Так происходит, если приближённое значение больше точного и забывают, что важен размер отклонения. Проверьте знак: абсолютная погрешность должна быть неотрицательной, поэтому используйте |x − a|.
Некоторые делят абсолютную погрешность на приближённое значение a, хотя в формуле стоит точное значение x. Ошибка возникает из-за того, что именно число a дано как результат измерения и кажется главным. Перед вычислением выпишите формулу |x − a| / |x| и проверьте знаменатель.
При ответе в процентах иногда оставляют относительную погрешность десятичной дробью. Например, 0,03 ошибочно называют 0,03%, хотя это 3%. Для проверки умножьте дробь на 100% и только потом поставьте знак процента.
Сравнение только абсолютных погрешностей может привести к неверному выводу о точности. Ошибка 1 см велика для отрезка 5 см, но мала для отрезка 100 см. Найдите относительные погрешности обоих измерений и сравните их.
Для работы с погрешностями понадобятся округление чисел и действия с десятичными дробями. Также нужно уметь находить модуль числа и переводить десятичную дробь в проценты. Эти навыки помогают правильно подставлять значения в формулы и оформлять ответ.
Погрешности встречаются при измерении длины, массы, времени и температуры, а также в результатах опытов и вычислений. Позже эти понятия помогут оценивать точность приближённых вычислений и сравнивать результаты экспериментов. Относительная погрешность особенно полезна, когда величины имеют разный масштаб.
Почему абсолютная погрешность всегда берётся по модулю?
Разность x − a может быть отрицательной, если приближённое значение больше точного. Погрешность показывает размер отклонения, поэтому её записывают как модуль |x − a| и получают неотрицательное число.
Можно ли найти относительную погрешность, если точное значение равно нулю?
В обычном определении нельзя, потому что относительная погрешность содержит деление на |x|, а делить на ноль нельзя. В таком случае можно указать абсолютную погрешность, но относительную определяют только для ненулевого точного значения.
Почему относительную погрешность часто выражают в процентах?
Проценты позволяют наглядно показать, какую часть от точного значения составляет ошибка. Например, 0,02 и 2% — это одна и та же относительная погрешность, но процентная запись обычно понятнее.
Как определить, какое из двух измерений точнее?
Нужно сравнить относительные погрешности измерений. Точнее то измерение, у которого относительная погрешность меньше, даже если его абсолютная погрешность может быть больше.
Чем погрешность отличается от ошибки вычисления?
Погрешность обычно описывает отличие приближённого результата от точного значения, например при измерении или округлении. Ошибка вычисления может возникнуть из-за неправильного действия или записи, то есть из-за неверного решения, а не из-за неизбежного приближения.
§ 8. Абсолютная и относительная погрешность
