"Алгебра", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Одночлен — это произведение чисел и переменных, например −3a²b. Умение приводить такие выражения к стандартному виду помогает быстро находить их коэффициенты и степени, складывать одинаковые по буквенной части одночлены и выполнять умножение. Главное — следить, какие действия выполняются: при сложении подобных одночленов складывают коэффициенты, а при умножении складывают показатели одинаковых переменных.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — выражение, состоящее из числа, одной или нескольких переменных и их степеней с натуральными показателями, соединённых только умножением. Например, 4, x и −2a²b — одночлены. Число не содержит переменных, а отдельную переменную можно считать первой степенью: x = x¹.
Стандартный вид одночлена — произведение числового коэффициента и степеней различных переменных. Например, вместо a · a · b · 3 записывают 3a²b. Одинаковые буквенные множители объединяют, чтобы выражение было короче и по нему было легче находить нужные характеристики.
Коэффициент одночлена — его числовой множитель в стандартном виде. В записи xy коэффициент не указан, но он равен 1: xy = 1xy. В записи −xy коэффициент равен −1, поскольку −xy = −1xy.
Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в стандартном виде. У одночлена 5a²b³ степень равна 2 + 3 = 5. Степень любого ненулевого числа равна 0: в нём нет переменных, показатели которых можно было бы сложить.
Число, умноженное на степени переменных, образует одночлен, потому что все его части соединены умножением, а переменные возведены в натуральные степени. Например, 7x²y можно прочитать как 7 · x · x · y. Выражение с переменной в знаменателе, например 1/x, можно записать как x⁻¹, а показатель −1 не натуральный. Под корнем переменная соответствует дробному показателю: √x = x¹ᐟ², поэтому такие выражения к одночленам в этом смысле не относят.
Чтобы привести одночлен к стандартному виду, сначала перемножают все числа, а затем собирают множители с одинаковыми переменными. Например, в выражении 2a · 3a · b числовая часть равна 2 · 3 = 6, а два множителя a дают a². Получается 6a²b: коэффициент стоит первым, и каждая переменная записана только один раз. Так проще увидеть, какие переменные входят в одночлен и с какими показателями.
Коэффициент и степень удобно определять уже после приведения к стандартному виду, иначе одинаковые множители могут остаться незамеченными. Например, в записи 2a · 3a число 3 не является итоговым коэффициентом, поскольку числовые множители ещё не перемножены. После упрощения получаем 6a²: коэффициент равен 6, а степень — 2. Если перед буквенной частью нет числа, подразумевается 1; если стоит один минус — коэффициент −1, а у числа без переменных степень 0.
Одночлены называют подобными, если их буквенные части полностью совпадают, включая переменные и показатели. Например, 4a²b и −a²b подобны, а 4a²b и 4ab² — нет. У подобных слагаемых одна и та же буквенная часть, поэтому можно вынести её за скобки: 4a²b − a²b = (4 − 1)a²b = 3a²b. Значит, складывают коэффициенты, а буквенную часть сохраняют.
При умножении одночленов числовые множители образуют новый коэффициент, а множители с одинаковыми переменными объединяют. Основание остаётся тем же, а показатели складываются по правилу aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ: например, a² · a³ = a⁵, потому что всего перемножается пять множителей a. Для разных переменных такого объединения нет, поэтому a² · b³ остаётся a²b³. Например, (2a²b) · (3ab³) = 6a³b⁴.
Используйте таблицу как памятку: сначала проверьте стандартный вид, затем определите коэффициент и степень. Для строк о подобных одночленах и произведении важно различать сложение и умножение: в первом случае изменяются коэффициенты, во втором перемножаются числа и объединяются одинаковые переменные.
| Что рассматриваем | Как определить | Пример |
|---|---|---|
| Стандартный вид | Перемножить числа и объединить одинаковые переменные | 2a · 3a²b = 6a³b |
| Коэффициент | Найти числовой множитель в стандартном виде | В −5x²y коэффициент −5 |
| Степень | Сложить показатели всех переменных | Степень 3a²b — 2 + 1 = 3 |
| Подобные одночлены | Сравнить буквенные части, включая показатели | 2x²y и −7x²y подобны |
| Произведение одночленов | Перемножить коэффициенты, показатели одинаковых переменных сложить | (2a²) · (3a) = 6a³ |
Задача 1. Приведите одночлен −3a · 2a²b к стандартному виду и укажите его коэффициент и степень. Сначала отдельно рассмотрим числовые и буквенные множители: это помогает не смешать правила вычислений. Затем запишем результат так, чтобы каждая переменная встретилась только один раз. После этого коэффициент читается как числовой множитель, а степень находится сложением показателей.
Ответ: −6a³b; коэффициент −6, степень 4.
Задача 2. Сложите подобные одночлены 5x²y − 8x²y + 2x²y. У всех трёх слагаемых буквенная часть x²y одинакова, поэтому их можно объединить. Не нужно заново умножать или складывать показатели: переменные уже совпадают, и буквенная часть останется прежней. Выполним действия только с числовыми коэффициентами.
Ответ: −x²y.
Задача 3. Упростите выражение (−2a²b) · (3ab³) + 4a³b⁴ и приведите результат к стандартному виду. Здесь сначала нужно выполнить умножение: лишь после него станет ясно, подобны ли получившиеся одночлены. Затем сравним буквенные части и, если они совпадают, сложим коэффициенты. Такой порядок действий не позволяет сложить выражения, которые ещё не приведены к сопоставимому виду.
Ответ: −2a³b⁴.
Определяют коэффициент и степень до приведения к стандартному виду. Тогда одинаковые переменные или числовые множители могут остаться не объединёнными, например 2a · 3a ошибочно принимают за коэффициент 2 и степень 1. Ошибку допускают, когда начинают читать запись слева направо, не упрощая её. Проверка: перемножьте числа и запишите каждую переменную с одним показателем.
Складывают показатели при сложении одночленов. Это правило относится к умножению степеней с одинаковым основанием, а не к сумме выражений. При сложении подобных одночленов буквенная часть остаётся неизменной, а складываются коэффициенты. Проверьте, совпадают ли буквенные части, и вынесите их за скобки.
Считают степенью показатель только одной переменной. Например, для a²b³ степень не 2 и не 3, а сумма показателей 2 + 3 = 5. Такая ошибка возникает, если не учесть все переменные одночлена. Чтобы проверить результат, подчеркните показатели каждой переменной и сложите их.
При умножении перемножают показатели или складывают коэффициенты. Например, в произведении 2a² · 3a число 2 умножают на 3, а показатели a складывают: результат 6a³. Ошибка появляется из-за смешения двух разных правил. Проверяйте отдельно числовую часть и буквенную, а затем соберите их в стандартный вид.
Для работы с одночленами нужны известные правила сложения и умножения, порядок выполнения действий и правило умножения степеней с одинаковым основанием. Например, именно последнее объясняет, почему a² · a³ = a⁵. Если это правило забыто, полезно сначала представить степени как повторное умножение переменных.
Одночлены станут основой для работы с многочленами — выражениями, состоящими из нескольких одночленов, соединённых сложением или вычитанием. Навыки приведения подобных слагаемых помогают раскрывать скобки и упрощать алгебраические выражения. Поэтому важно уметь отличать одночлены с одинаковыми буквенными частями от непохожих.
Является ли число одночленом?
Да, число считается одночленом: его можно представить как выражение без переменных. У любого ненулевого числа степень равна 0.
Как привести одночлен к стандартному виду?
Перемножьте все числовые множители, а множители с одинаковыми переменными объедините по правилу умножения степеней. Затем запишите числовой коэффициент и степени различных переменных.
Как найти степень одночлена с несколькими переменными?
Сначала приведите одночлен к стандартному виду. Затем сложите показатели степеней всех переменных, например степень 4a²b³ равна 2 + 3 = 5.
Почему одночлены с разными буквенными частями нельзя сложить?
При сложении можно объединить только слагаемые, содержащие одинаковые переменные в одинаковых степенях. Если буквенные части различаются, слагаемые не подобны и остаются в выражении отдельно.
Что делать с показателями степеней при умножении одночленов?
У одинаковых переменных показатели складывают, потому что при умножении степеней с одинаковым основанием действует правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Показатели разных переменных не объединяют.
§ 7. Одночлены
