§ 6. Степень и ее свойства

Определения и обозначения

Степенью с натуральным показателем называют запись aⁿ, которая обозначает произведение n одинаковых множителей a. Здесь n — натуральное число, то есть число для счёта: 1, 2, 3 и так далее. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись помогает короче представить длинное произведение и удобнее выполнять вычисления.

Основание степени — число a, которое возводят в степень. В произведении, обозначенном записью aⁿ, основание становится каждым из одинаковых множителей. Например, у степени 7³ основание равно 7. Понимание основания помогает увидеть, какие именно множители повторяются и когда к степеням можно применить одно правило.

Показатель степени — натуральное число n в записи aⁿ. Он показывает, сколько раз основание входит в произведение: например, 2⁵ означает пять множителей, равных 2. Показатель позволяет быстро определить длину произведения, не записывая каждый множитель отдельно. Не путай его с результатом возведения в степень: в 2⁵ показатель — 5, а значение степени — 32.

Степенью произведения называют выражение (ab)ⁿ, а степенью частного — (a/b)ⁿ. При возведении в степень произведения каждый его множитель возводят в эту степень; у частного отдельно возводят числитель и знаменатель. Например, (2 · 3)² = 2² · 3², а (2/3)² = 2²/3². Эти правила позволяют работать с множителями по отдельности, не раскрывая всё выражение целиком.

Как это устроено

Чтобы перейти от произведения к степени, нужно посчитать одинаковые множители: их число записывают показателем, а сам множитель — основанием. Например, 4 · 4 · 4 можно записать как 4³. Обратный переход тоже прост: в записи aⁿ заменяем степень произведением n множителей a. Проверяя запись, пересчитай множители: показатель должен совпадать с их количеством.

При умножении степеней с одинаковым основанием раскрываем обе степени как произведения: aᵐ · aⁿ = (a · … · a) · (a · … · a). В первой группе m множителей, во второй — n, и все они одинаковые. После объединения получается одна группа из m + n множителей, то есть aᵐ⁺ⁿ. Поэтому в правиле aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ показатели складываются, а основание остаётся прежним.

При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются. Если aᵐ : aⁿ и m больше n, после сокращения останется m − n множителей a, то есть aᵐ⁻ⁿ. Поэтому aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при a ≠ 0; основание не может быть нулём, иначе делитель aⁿ равен нулю. Если показатели одинаковы, все множители сокращаются и получается 1.

В выражении (aᵐ)ⁿ внешняя степень означает, что группу aᵐ нужно взять множителем n раз. В каждой из n групп находится m множителей a, поэтому всего их m · n. Получается aᵐⁿ, то есть (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Здесь показатели перемножаются, потому что считаем множители во всех повторённых группах, а не соединяем две отдельные степени.

Степень произведения можно распределить по множителям, если раскрыть определение: (ab)ⁿ — это n копий группы ab. Если переставить множители, получатся n множителей a и n множителей b, то есть aⁿbⁿ. Поэтому (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Аналогично в (a/b)ⁿ повторяется n раз дробь a/b: перемножив числители и знаменатели, получаем aⁿ/bⁿ при b ≠ 0.

Свойства степени

В таблице собраны правила и условия, без которых их нельзя применять правильно. Сначала проверь, что основания совпадают там, где это требуется, и что делитель не равен нулю. Затем выбери строку по действию: умножение, деление или возведение степени в степень.

При делении правило применимо и тогда, когда показатель делимого меньше показателя делителя: вычитание даст отрицательное число, но такие результаты здесь отдельно не разбираются. В примерах ниже для деления будут выбраны показатели, при которых после сокращения остаётся степень с натуральным показателем.

Разбор задач

Представьте произведение 5 · 5 · 5 · 5 в виде степени и укажите её основание и показатель. Здесь все множители одинаковы, поэтому отдельно вычислять произведение не требуется. Нужно лишь определить, какое число повторяется и сколько раз.

1. Находим повторяющийся множитель: во всех четырёх местах стоит число 5. Значит, оно будет основанием искомой степени. Если бы множители были разными, записать их все одной такой степенью было бы нельзя.

2. Считаем множители: их четыре. Число 4 записываем показателем, поэтому произведение превращается в 5⁴. Проверка по определению показывает, что 5⁴ действительно означает четыре множителя 5.

Ответ: 5⁴; основание — 5, показатель — 4.

Упростите x⁴ · x³ и вычислите 2³ · 2². В обоих выражениях перемножаются степени с одинаковыми основаниями, поэтому можно соединить множители и сложить показатели. Во втором случае после применения правила вычислим полученную степень, чтобы проверить ответ.

1. В x⁴ находится четыре множителя x, а в x³ — ещё три. Всего получится семь одинаковых множителей, поэтому x⁴ · x³ = x⁷. Эта проверка по определению объясняет, почему показатели складывают, а не перемножают.

2. Для числового выражения применяем то же правило: 2³ · 2² = 2⁵. Вычисляем: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Значит, правило приводит к тому же результату, что и непосредственное умножение 8 · 4.

Ответ: x⁷; 32.

Упростите (3a²)³ / a⁴ при a ≠ 0. В числителе есть произведение 3 и a² в скобках, возведённое в третью степень, а затем результат делится на a⁴. Чтобы не пропустить множители и показатели, сначала раскроем степень произведения, потом возведём степень в степень и только затем сократим степени с основанием a.

1. Распределяем третью степень по множителям: (3a²)³ = 3³ · (a²)³. По правилу возведения степени в степень (a²)³ = a⁶, поэтому числитель равен 27a⁶. На этом шаге основание 3 тоже возведено в степень: нельзя оставить его без изменения.

2. Делим полученное выражение на a⁴: 27a⁶ / a⁴ = 27a⁶⁻⁴ = 27a². Основания у степеней одинаковые, а a ≠ 0, поэтому правило деления можно применить. Вычитание показателей соответствует сокращению четырёх множителей a.

Ответ: 27a².

Типичные ошибки

Ошибка: при умножении степеней с одинаковым основанием перемножают показатели, например считают a² · a³ = a⁶. Так делают, потому что смешивают это правило с возведением степени в степень. Раскрой степени: два множителя a и ещё три — всего пять, значит, правильно a⁵.

Ошибка: при возведении степени в степень складывают показатели, например записывают (a²)³ = a⁵. Причина — видимое сходство скобок с умножением двух степеней, хотя здесь повторяется целая группа множителей. Запиши три группы по два множителя a: всего шесть, поэтому результат a⁶.

Ошибка: при делении степеней вычитают основания или делят показатели. Так может показаться, если забыть, что основания задают одинаковые множители, которые сокращаются попарно. Например, в a⁵ : a² сокращаются два множителя a и остаются три, то есть a³; проверь, что вычитаются именно показатели.

Ошибка: в степени произведения возводят в степень только один множитель, а в степени дроби — только числитель. Скобки показывают, что степень относится ко всему выражению, но при раскрытии их иногда упускают. Проверка по определению помогает: повтори всю группу множителей n раз — тогда каждый множитель и числитель со знаменателем получат показатель n.

Связь с другими темами

Для работы со степенями нужно уметь записывать произведение одинаковых множителей и выполнять действия с натуральными числами. Это помогает понимать, откуда берутся правила, и проверять вычисления по определению степени. Если основание и число множителей распознаны верно, запись произведения в виде степени становится короткой и точной.

Свойства степеней используют при преобразовании одночленов и многочленов, когда нужно упрощать выражения и собирать множители. Позднее эти правила пригодятся при работе с алгебраическими дробями и уравнениями. Умение следить за основанием, показателем и условиями деления помогает выполнять такие преобразования без потери смысла.

Что запомнить

• В записи aⁿ число a — основание, а n — показатель.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают; делитель не должен быть равен нулю.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• Степень произведения равна произведению степеней множителей.
• Степень частного равна частному степеней числителя и знаменателя; знаменатель не равен нулю.