§ 6. Степень и ее свойства

Определения и обозначения

Степень числа — произведение нескольких одинаковых множителей. Запись aⁿ означает, что число a умножают само на себя n раз: например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись нужна, чтобы короче обозначать длинные произведения и удобнее выполнять вычисления.

Основание степени — число a, которое возводят в степень. В выражении 5³ основание равно 5, то есть именно пятёрка повторяется в произведении: 5 · 5 · 5. Определение основания помогает понять, какие множители одинаковы и можно ли применить свойства степеней.

Показатель степени — натуральное число n, показывающее, сколько раз основание входит множителем. В записи 4³ показатель равен 3, поэтому произведение состоит из трёх четвёрок. Показатель помогает не путать число множителей с их значением: 4³ — это не 4 · 3.

Нулевая степень ненулевого числа равна единице: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Например, 7⁰ = 1, а не 0. Это правило согласуется со свойством деления степеней и позволяет записывать результаты преобразований единообразно; выражение 0⁰ в рамках этого правила не определено.

Как это устроено

Запись aⁿ сокращает произведение n одинаковых множителей a. При показателе 1 множитель только один, поэтому a¹ = a: никакого дополнительного умножения не происходит. Для нулевого показателя отдельное соглашение даёт a⁰ = 1 при a ≠ 0; его можно понять через деление: a³ : a³ = 1, а по правилу вычитания показателей это a³⁻³ = a⁰.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Причина видна, если раскрыть степени: в первом произведении m множителей a, во втором — n таких же множителей. После объединения получается m + n множителей, например 2³ · 2² = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁵.

При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитаются: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. В числителе и знаменателе есть общие множители a, и одинаковые множители можно сократить; остаётся разность их количества. Например, 5⁴ : 5² = 5². Основание должно быть ненулевым, иначе в знаменателе может оказаться ноль и деление будет невозможно.

Степень степени равна степени с произведением показателей: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Внутренняя степень состоит из m множителей a, а таких групп повторяется n; всего выходит m · n множителей. Например, (2³)² — это две группы по три двойки, то есть 2⁶, а не 2⁵.

Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в неё каждый множитель: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Это получается потому, что произведение ab повторяется n раз и множители можно сгруппировать отдельно для a и для b. Аналогично степень частного равна частному степеней: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ при b ≠ 0; знаменатель не должен быть нулём ни в исходном выражении, ни в преобразовании.

Определение и свойства степени

Пользуйся таблицей, сначала определив действие и проверив, одинаковы ли основания. Затем выбери подходящую строку и проверь условия, особенно при делении. Если основание или действие не подходят под правило, преобразовывать выражение таким способом нельзя.

Разбор задач

Задача 1. Запишите произведение (−3)·(−3)·(−3)·(−3) в виде степени и найдите его значение. Нужно определить повторяющееся основание и посчитать число множителей. Затем учесть, что показатель чётный.

1. Все множители равны −3, поэтому основание степени — −3. Скобки показывают, что отрицательное число целиком повторяется как множитель. Это важно, чтобы знак минус тоже вошёл в основание.

2. Множителей четыре, значит, произведение записываем как (−3)⁴. Показатель 4 чётный, поэтому пары отрицательных множителей дают положительные числа. Получаем (−3)⁴ = 81.

Ответ: (−3)⁴ = 81.

Задача 2. Упростите выражение 2⁴ · 2³ и вычислите его значение. Основания одинаковы, а степени перемножаются. Поэтому применяем правило сложения показателей, а затем находим значение полученной степени.

1. Запишем правило: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Оно подходит, потому что оба основания равны 2. Показатели 4 и 3 складываем: 2⁴ · 2³ = 2⁷.

2. Вычислим степень: 2⁷ — это семь множителей, равных 2. Удобно последовательно удваивать: 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = 128. Значение исходного выражения равно 128.

Ответ: 2⁴ · 2³ = 2⁷ = 128.

Задача 3. Упростите выражение (3²)³ · (3 · 2)² / 3⁴. В записи дроби знаменатель равен 3⁴, поэтому основание при делении ненулевое. Сначала удобно отдельно преобразовать степень степени и степень произведения, а затем объединить степени с основанием 3.

1. По правилу степени степени (3²)³ = 3⁶. По правилу степени произведения (3 · 2)² = 3² · 2². В выражении теперь получаем 3⁶ · 3² · 2² / 3⁴.

2. Объединим степени с основанием 3: в числителе 3⁶ · 3² = 3⁸. При делении вычтем показатель знаменателя: 3⁸ : 3⁴ = 3⁴. Умножение и деление не затрагивают множитель 2².

3. Получили 3⁴ · 2². Вычисляем: 3⁴ = 81, а 2² = 4, поэтому 81 · 4 = 324. Проверка структуры выражения показывает, что знаменатель не равен нулю и все применённые правила подходят.

Ответ: 324.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать основания при умножении степеней, например считать, что 2³ · 2⁴ = 4⁷. Такое может показаться естественным из-за знака умножения, но правило сложения показателей действует только при одинаковых основаниях и оставляет основание прежним. Проверить себя легко: раскрой степени в произведение одинаковых множителей и посчитай их количество.

Ошибка: умножать показатели при умножении степеней с одинаковым основанием. Например, 3² · 3⁴ — это 3⁶, а не 3⁸: объединились две и четыре тройки. Показатели перемножаются при возведении одной степени в другую, как в (3²)⁴; перед вычислением проверь, стоит ли степень рядом с другой степенью или умножается на неё.

Ошибка: применять правило степени к сумме и считать (a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ. Правило относится к произведению, поэтому его по привычке переносят на сумму, хотя это неверно. Подставь, например, a = 1, b = 2, n = 2: слева получится 9, справа 5, значит, равенства нет.

Ошибка: сокращать степени при делении, не проверив основание. Правило aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ требует a ≠ 0, потому что ноль в знаменателе сделал бы деление невозможным. Перед сокращением проверь, что делитель не равен нулю; раскрытие множителей также помогает увидеть, что именно сокращается.

Связь с другими темами

Чтобы освоить степени, нужно уметь записывать произведение одинаковых множителей и выполнять действия с натуральными числами. Это основа для понимания того, почему при умножении или делении степеней меняются показатели. Свойства степеней затем помогают преобразовывать выражения и сокращать дроби, не раскрывая длинные произведения. Позже знакомые правила станут опорой при работе со степенями с целыми и рациональными показателями.

Что запомнить

• aⁿ — произведение n множителей, равных a.
• a¹ = a, а a⁰ = 1 при a ≠ 0.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитают.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• Степень произведения равна произведению степеней.
• Степень частного равна частному степеней, если знаменатель не равен нулю.