§ 7. Степень и ее свойства

Определения и обозначения

Степенью числа с натуральным показателем называют произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где a повторяется n раз. Например, 4³ = 4 · 4 · 4. Такая запись делает длинное произведение короче и удобнее для вычислений.

Основание степени — число a, которое возводят в степень. Оно является повторяющимся множителем, поэтому в записи 7⁴ основание равно 7, а само число 7 встречается в произведении четыре раза. Чтобы раскрыть степень, нужно выписать основание нужное количество раз.

Показатель степени — натуральное число n, которое показывает, сколько раз основание входит в произведение. В записи 7⁴ показатель равен 4, значит, множитель 7 берут четыре раза. По показателю можно определить, сколько множителей нужно записать, прежде чем выполнять вычисления.

Первая степень числа равна самому числу: a¹ = a, потому что единственный множитель — это a. Вторая степень называется квадратом числа: a² = a · a. Эти обозначения помогают кратко записывать умножение числа на себя один или несколько раз.

Как это устроено

Запись aⁿ сокращает произведение n одинаковых множителей. Например, 2⁴ означает 2 · 2 · 2 · 2, а не 2 · 4: показатель не является множителем. В выражении 2⁴ основание — 2, показатель — 4, и это сразу говорит, как раскрыть запись.

При умножении степеней с одинаковым основанием множители из обеих степеней объединяются. В записи aᵐ уже есть m множителей a, а в aⁿ — ещё n таких множителей. Всего их m + n, поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; например, x² · x³ = x⁵.

При возведении степени в степень повторяется целая группа множителей. Например, (a²)³ означает три группы по два множителя a: (a · a) · (a · a) · (a · a). Всего получается шесть множителей, поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; здесь показатели перемножаются.

При возведении произведения в степень каждый множитель повторяется одинаковое число раз. Например, (ab)³ = (ab) · (ab) · (ab), а после перестановки множителей получаем a³b³. Значит, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ: степень относится и к a, и к b.

При возведении частного в степень числитель и знаменатель повторяются в каждой группе. Например, (a/b)³ = (a/b) · (a/b) · (a/b) = a³/b³. Поэтому (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, если b ≠ 0: знаменатель дроби не может быть нулём.

Определение и свойства степени

Сначала найди в выражении нужный случай: одинаковое ли основание у степеней и какое действие выполняется. Затем проверь условия, особенно при делении и работе с дробью. После применения правила можно раскрыть степень или подставить значения букв.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 3⁴. Показатель 4 означает, что число 3 нужно взять множителем четыре раза. Сначала заменим степень произведением, а затем выполним умножение по порядку.

1. Запишем: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3.
2. Вычислим первые два множителя: 3 · 3 = 9.
3. Продолжим: 9 · 3 · 3 = 27 · 3 = 81.

Ответ: 81. Здесь важно не умножать показатель на основание: 3⁴ не означает 3 · 4. Степень сначала раскрывают как произведение четырёх троек.

Задача 2. Упростите x³ · x⁵ и найдите значение при x = 2. Основания степеней одинаковые, а степени перемножаются. Поэтому сначала применим правило сложения показателей, а затем подставим значение переменной.

1. Упростим: x³ · x⁵ = x³⁺⁵ = x⁸.
2. Подставим x = 2: x⁸ = 2⁸.
3. Вычислим: 2⁸ = 256.

Ответ: x⁸; при x = 2 значение выражения равно 256. Проверить правило можно раскрытием: слева три множителя x и ещё пять, всего восемь. Поэтому показатели складываются.

Задача 3. Упростите (2a²b)³ : (4a²b²), если a ≠ 0 и b ≠ 0. В числителе нужно возвести в третью степень каждый множитель произведения, затем разделить степени с одинаковыми основаниями. Условия a ≠ 0 и b ≠ 0 позволяют выполнять деление на соответствующие степени букв.

1. Возведём произведение в степень: (2a²b)³ = 2³ · (a²)³ · b³ = 8a⁶b³.
2. Запишем деление и разделим коэффициенты: (8a⁶b³) : (4a²b²) = 2 · a⁶/a² · b³/b².
3. Вычтем показатели: 2 · a⁴ · b = 2a⁴b.

Ответ: 2a⁴b. В числовых коэффициентах получили 8 : 4 = 2, а при делении степеней одинаковые основания сохранили и вычли показатели. Ненулевые значения a и b нужны, чтобы знаменатель исходной дроби не обращался в ноль.

Типичные ошибки

При умножении степеней с одинаковым основанием иногда перемножают показатели: например, ошибочно считают a³ · a² = a⁶. Это правило путают с возведением степени в степень. Проверь себя раскрытием: получится три множителя a и ещё два, то есть всего пять, поэтому верный результат — a⁵.

При возведении степени в степень могут сложить показатели: (a³)² ошибочно записать как a⁵. Ошибка возникает из-за сходства записи с умножением степеней. Раскрой скобки: группа из трёх множителей повторяется два раза, значит, всего шесть множителей и ответ a⁶.

Степень произведения нельзя заменять произведением основания на показатель: (ab)ⁿ — это не ab · n. Так ошибаются, если воспринимают показатель как множитель, а не как число повторений. Проверь себя, раскрыв скобки: при n = 2 получишь (ab)² = ab · ab = a²b².

Правило деления степеней нельзя применять при нулевом основании или если показатель делимого не больше показателя делителя. Эти условия нужны, чтобы делитель не был нулём и после сокращения оставались множители в числителе. Перед вычислением проверь, что a ≠ 0 и m > n; например, для a² : a⁵ это правило в указанном виде неприменимо.

Связь с другими темами

Для работы со степенями нужны навыки умножения и деления натуральных чисел: степень раскрывается в произведение, а её значение находят вычислением. Также пригодятся буквенные выражения и порядок выполнения действий, чтобы правильно упрощать записи с переменными и числами.

Свойства степени применяют при преобразовании одночленов и многочленов, упрощении выражений и решении уравнений. Они помогают собирать одинаковые буквенные множители в компактную запись и выполнять вычисления без многократного раскрытия произведений. Умение выбирать подходящее свойство делает длинные выражения понятнее.

Что запомнить

• aⁿ — произведение n одинаковых множителей a.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитают, если показатель делимого больше.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• При возведении произведения или частного в степень возводят в эту степень каждый множитель.
• Перед применением правила деления проверь, что делитель не равен нулю.