18. Определение степени с натуральным показателем

Определения и обозначения

Степенью с натуральным показателем называют произведение нескольких одинаковых множителей, которое записывают как aⁿ. Например, 5 · 5 · 5 можно записать короче: 5³. Такая запись нужна, чтобы не повторять длинное произведение и сразу видеть, сколько одинаковых чисел в нём участвует.

Основание степени — число a, которое повторяется в произведении. В записи 5³ основание равно 5, потому что именно пятёрку умножают на себя. Знание основания помогает понять, какой множитель нужно записать несколько раз при раскрытии степени.

Показатель степени — натуральное число n, которое показывает, сколько раз основание входит в произведение. В записи 5³ показатель равен 3, значит, множителей будет три, а не пять. Показатель нужен, чтобы восстановить произведение по краткой записи и правильно вычислить его значение.

Возведение в степень — действие, при котором произведение одинаковых множителей записывают и вычисляют в виде степени. Например, вместо 2 · 2 · 2 · 2 можно записать 2⁴, а затем получить значение 16. Это действие упрощает запись вычислений и позволяет сравнивать выражения.

Как это устроено

Если одно и то же число умножают несколько раз, каждый раз появляется ещё один одинаковый множитель. Поэтому произведение a · a · … · a можно заменить короткой записью aⁿ, где n равно числу множителей. Например, в произведении 4 · 4 · 4 · 4 пять? Нет: множителей четыре, поэтому запись будет 4⁴. Число множителей определяет показатель, потому что именно он должен позволить восстановить исходное произведение.

В записи aⁿ буква a обозначает повторяющееся число, а маленькое n справа сверху — число повторений. Читают такую запись «а в степени эн» или «эн-ная степень числа а». Показатель здесь натуральный, то есть это одно из чисел 1, 2, 3 и так далее. Это условие означает, что рассматривается произведение с положительным целым числом множителей.

Чтобы вычислить степень, сначала раскрой её по определению, записав столько одинаковых множителей, сколько показывает показатель. Затем выполни умножение: например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Такой порядок помогает не перепутать число множителей с результатом. При этом умножать основание на показатель нельзя: 3⁴ не равно 3 · 4.

Знак степени с отрицательным основанием зависит от того, чётный показатель или нечётный. При чётном числе множителей отрицательные числа можно объединить в пары, а произведение каждой пары положительно: (−3)⁴ = 81. При нечётном показателе после составления пар останется один отрицательный множитель, поэтому произведение отрицательно: (−3)³ = −27. Это правило относится к степени, где минус входит в основание, то есть записан вместе с числом в скобках.

У некоторых оснований результат легко определить, не выполняя длинное умножение. В произведении с основанием 0 каждый множитель равен нулю, поэтому 0ⁿ = 0 при натуральном n. Произведение единиц не меняется, значит, 1ⁿ = 1. Для основания −1 пары множителей дают 1: при чётном показателе результат равен 1, а при нечётном остаётся один множитель −1, поэтому результат равен −1.

Запись степени и её значение

Пользуйся таблицей, чтобы определить основание и показатель, а затем понять, что означает запись. В строке aⁿ значение дано в общем виде как произведение, поэтому для конкретного числа его ещё нужно вычислить. Остальные строки показывают результаты для частных оснований и помогают быстро проверить ответ.

Разбор задач

Запишите произведение 7 · 7 · 7 · 7 в виде степени и назовите её основание и показатель.

1. Проверим, какое число повторяется: во всех множителях стоит 7. Значит, именно 7 будет основанием степени.
2. Посчитаем множители: их четыре. Поэтому число 4 записываем показателем справа сверху от основания.
3. Получаем степень 7⁴. Здесь основание равно 7, показатель равен 4; вычислять значение степени для ответа не требуется.

Ответ: 7⁴; основание — 7, показатель — 4.

Вычислите 3⁴ и (−3)⁴, предварительно представив каждую степень произведением.

1. В первой степени основание 3, а показатель 4, поэтому записываем четыре тройки: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Считаем по порядку: 3 · 3 = 9, 9 · 3 = 27, 27 · 3 = 81.
2. Во второй записи скобки показывают, что основание — всё число −3. Раскрываем степень: (−3)⁴ = (−3) · (−3) · (−3) · (−3).
3. Соберём отрицательные множители в пары: (−3) · (−3) = 9. Тогда произведение равно 9 · 9 = 81; результат положительный, потому что множителей с минусом чётное число.

Ответ: 3⁴ = 81, (−3)⁴ = 81.

Сравните значения (−2)⁵ и −2⁵; объясните различие в записях и вычислите каждое выражение.

1. В выражении (−2)⁵ скобки включают минус в основание. Значит, умножаем пять множителей −2: (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = −32.
2. В выражении −2⁵ скобок нет, поэтому показатель относится только к числу 2. Сначала считаем 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, а затем ставим перед результатом минус: −2⁵ = −32.
3. В этой паре выражений значения совпали, но основания степеней различаются. Чтобы увидеть различие в результате, при чётном показателе получим (−2)⁴ = 16, тогда как −2⁴ = −16.

Ответ: (−2)⁵ = −32, −2⁵ = −32. Скобки определяют, входит ли знак минус в основание.

Типичные ошибки

Ошибка: считать показатель значением степени. Это возникает потому, что маленькое число сверху легко принять за ответ, хотя оно только считает множители. Проверь себя, раскрыв степень: 3⁴ — это четыре тройки, а значение равно 81.

Ошибка: путать основание и показатель, особенно в буквенной записи. Можно принять число множителей за повторяющийся множитель или наоборот. Проверь себя вопросами: какое число повторяется и сколько раз оно записано? В aⁿ повторяется a, а множителей n.

Ошибка: считать (−a)ⁿ и −aⁿ одинаковыми. Скобки иногда пропускают при чтении, хотя они показывают, входит ли минус в основание. Проверь выражение при чётном n: например, (−2)⁴ = 16, а −2⁴ = −16.

Ошибка: думать, что любая степень отрицательного числа отрицательна. Такой вывод делают по примерам с нечётными показателями, не учитывая чётность. Проверь количество отрицательных множителей: при чётном числе они дают положительные пары, при нечётном один минус остаётся.

Связь с другими темами

Для изучения степеней нужно уметь различать натуральные числа, умножать их и узнавать произведение одинаковых множителей. Эти знания позволяют понять, откуда берутся основание и показатель и как раскрывать запись степени. Позже степени понадобятся при преобразовании выражений и изучении свойств степеней. Их также используют для короткой записи больших чисел.

Что запомнить

• aⁿ — это произведение n множителей, каждый из которых равен a.
• a — основание степени, n — её натуральный показатель.
• Показатель указывает количество множителей, а не значение степени.
• Степень с основанием 0 и натуральным показателем равна 0.
• Степень числа 1 равна 1 при любом натуральном показателе.
• Степень числа −1 равна 1 при чётном показателе и −1 при нечётном.
• В записи со скобками и без скобок основание степени может быть разным.