"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Степень помогает кратко записывать произведение одинаковых множителей: например, 3⁴ означает 3 · 3 · 3 · 3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, а при делении — вычитают, если основание не равно нулю. Эти правила позволяют упрощать выражения и быстрее выполнять вычисления. Главное — следить, чтобы основания были одинаковыми, и не путать показатель степени с основанием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенью числа a с натуральным показателем n называют произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a: aⁿ = a · a · … · a. Число a называют основанием степени, а число n — показателем. Такая запись нужна, чтобы короче обозначать длинное произведение и видеть, сколько одинаковых множителей в него входит.
Умножение степеней с одинаковыми основаниями — действие, которое заменяет произведение этих степеней одной степенью с тем же основанием: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Деление степеней с одинаковыми ненулевыми основаниями записывают так: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, если m ≥ n. Эти обозначения помогают упрощать выражения, не раскрывая каждую степень полностью; при делении условие a ≠ 0 необходимо, потому что на ноль делить нельзя.
Чтобы понять правило умножения, раскроем степени как произведения: aᵐ содержит m множителей a, а aⁿ — ещё n таких же множителей. При умножении все множители собираются в одну цепочку, и их общее количество становится m + n. Например, a³ · a² = (a · a · a) · (a · a) = a⁵, поэтому основание остаётся прежним, а показатели складываются.
При делении одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются попарно. Если сверху a⁵, а снизу a², две пары множителей исчезают, и остаются три множителя a: a⁵ : a² = a³. В общем случае сокращаются n множителей из m, поэтому остаётся m − n множителей; именно этим объясняется вычитание показателей.
Если показатели равны, после сокращения не остаётся множителей: a⁴ : a⁴ = 1 при a ≠ 0. Основание должно быть ненулевым, иначе исходное деление может иметь нулевой знаменатель. Правила применимы только к степеням с одинаковыми основаниями: если основания различаются, множители не образуют одну группу одинаковых чисел и сокращать их по этому правилу нельзя.
Сначала удобно привести выражение к виду, где видны степени с одинаковыми основаниями, и лишь затем применить правило. Если в выражении есть несколько действий, умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, а скобки могут изменить порядок. Так, в выражении a² · a³ + a нужно сначала объединить степени, а потом прибавить a.
| Действие | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Умножение | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ |
| Деление | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0, m ≥ n | 5⁶ : 5² = 5⁴ |
| Равные показатели при делении | aᵐ : aᵐ = 1, a ≠ 0 | 3⁴ : 3⁴ = 1 |
Сначала сравни основания: они должны совпадать. Затем выбери строку по действию и сохрани общее основание, изменив только показатель. В делении проверь, что основание ненулевое и показатель в числителе не меньше показателя в знаменателе.
Задача 1. Упростить выражение 2³ · 2⁵ : 2⁴. Здесь все степени имеют одно основание, поэтому можно последовательно применить правила умножения и деления. Удобно сначала объединить первые две степени, а затем разделить полученную степень на третью.
Ответ: 16. Проверка раскрытием степеней показывает, что после сокращения четырёх двоек из числителя остаются четыре двойки, то есть 2⁴.
Задача 2. Упростить выражение 7⁶ : 7² · 7³. Деление и умножение имеют одинаковый приоритет, поэтому действия выполняются слева направо. Можно также объединить показатели, учитывая, что при делении показатель вычитается, а при умножении прибавляется.
Ответ: 7⁷. Раскрывать все степени не требуется: вычисление показывает, как изменяется количество множителей 7.
Складывают показатели при разных основаниях. Например, запись 2³ · 5² нельзя заменить на 10⁵: множители в степенях не одинаковы. Такую ошибку допускают, запоминая только действие и забывая условие правила. Проверь основания до изменения показателей.
Вычитают показатели при умножении или складывают их при делении. Причина — путаница между двумя формулами. Сверь действие со смыслом: при умножении цепочки множителей соединяются, а при делении одинаковые множители сокращаются.
Изменяют основание вместе с показателем. При умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями основание сохраняется, меняется только показатель. Чтобы проверить себя, запиши основание и показатель раздельно до и после преобразования.
Забывают условие ненулевого основания при делении. Если a = 0, деление может привести к нулевому знаменателю, а оно не определено. Перед применением формулы деления проверь, что основание не равно нулю.
Правила опираются на определение степени как произведения одинаковых множителей, поэтому полезно уметь раскрывать степень и сокращать общие множители. Они связаны с порядком действий: прежде чем складывать или вычитать слагаемые, выполняют умножение и деление. Эти преобразования пригодятся при упрощении буквенных выражений и вычислении значений выражений с переменными.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
При делении степеней с одинаковыми ненулевыми основаниями показатели вычитают: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при m ≥ n.
Основание при этих действиях не меняется; правило нельзя применять к разным основаниям.
Проверяй действие, основания и условия до того, как изменять показатели.
Почему при умножении степеней показатели складывают?
Каждая степень показывает, сколько раз основание входит в произведение. При умножении произведения соединяются, поэтому общее число одинаковых множителей равно сумме показателей.
Можно ли складывать показатели, если основания разные?
Нет, правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ работает только при одинаковых основаниях. Например, 2³ · 3² нельзя превратить в 6⁵.
Почему при делении степеней основание не должно быть равно нулю?
Делить на ноль нельзя. Если основание равно нулю, то степень с положительным показателем равна нулю, поэтому деление такой степени на другую может оказаться делением на ноль.
Что делать, если показатели степеней равны?
При делении степеней с одинаковыми основаниями и равными показателями получается 1: aᵐ : aᵐ = 1 при a ≠ 0. Числитель и знаменатель здесь одинаковы, а любое ненулевое число, делённое на себя, равно единице.
19. Умножение и деление степеней
