"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Степень записывает произведение одинаковых множителей коротко: показатель показывает, сколько раз повторяется основание. Если основания степеней одинаковы, при умножении можно сложить показатели, а при делении — вычесть их, сохранив основание. Эти правила помогают быстрее упрощать выражения и выполнять вычисления. Для деления нужно ненулевое основание и больший показатель делимого; нулевая степень ненулевого числа равна 1.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — это произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где множитель a встречается n раз. Число a называют основанием, а n — показателем степени. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись помогает коротко обозначать длинное произведение.
Умножение степеней с одинаковым основанием — действие, при котором основание сохраняют, а показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Например, при умножении 2³ на 2⁴ получится семь множителей 2. Правило удобно, когда нужно сократить запись произведения одинаковых чисел или букв.
Деление степеней с одинаковым основанием — действие, при котором из показателя делимого вычитают показатель делителя: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Это правило применяют, если a ≠ 0, m и n — натуральные числа и m > n. Ненулевое основание нужно, чтобы деление было определено, а условие m > n позволяет получить степень с натуральным показателем.
Нулевая степень ненулевого числа равна единице: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Это равенство получается, если разделить степень числа на такую же степень: одинаковые множители сокращаются, и остаётся 1. Знак a ≠ 0 напоминает, что ноль делить на себя нельзя.
Чтобы понять правило умножения, раскроем степени как произведения. Например, a³ · a² = (a · a · a) · (a · a). Всего в записи пять одинаковых множителей a, поэтому произведение можно записать как a⁵, то есть показатели складываются. Так работает и для любых натуральных показателей: мы считаем общее число одинаковых множителей, а основание остаётся прежним.
Правило деления тоже видно из записи произведений. В дроби a⁵ : a² числитель содержит пять множителей a, а знаменатель — два; при a ≠ 0 два множителя сокращаются. В числителе остаются три множителя, значит, результат равен a³, а показатель получен вычитанием: 5 − 2 = 3. Для такого способа записи показатель делимого должен быть больше показателя делителя, чтобы после сокращения остались множители, а основание не было нулём.
Нулевая степень появляется из правила деления, если показатели равны: aⁿ : aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰. С другой стороны, ненулевое число, разделённое на себя, равно 1. Значит, a⁰ = 1, если a ≠ 0; именно условие ненулевого основания позволяет выполнить деление.
Правила умножения и деления нельзя переносить на степени с разными основаниями. Например, в произведении 2³ · 3² множители не одинаковы: среди них есть тройки и двойки, поэтому объединить их в одну степень со сложенным показателем нельзя. При сокращении в частном также исчезают только одинаковые множители, а разные числа сокращать нельзя. Значит, прежде чем применять правило, нужно убедиться, что основания совпадают.
Если в выражении есть несколько умножений и делений, сначала проверь, можно ли представить степени с общим основанием, а затем выполняй действия последовательно. Например, в произведении степеней одного основания показатели складываются, а при делении — вычитаются. Буквенное основание при делении должно быть ненулевым, поэтому ограничение записывают отдельно. После преобразования полезно проверить, не потерялось ли условие и не изменилось ли основание.
| Действие | Правило | Условия |
|---|---|---|
| Умножение | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Одинаковое основание; m и n — натуральные числа |
| Деление | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0; m и n — натуральные числа, m > n |
| Нулевая степень | a⁰ = 1 | a ≠ 0 |
Найди в выражении степени с одинаковым основанием и выбери подходящую строку таблицы. При умножении сложи показатели, а при делении вычти показатель делителя из показателя делимого. Перед делением проверь, что основание ненулевое и показатель делимого больше.
Упростите 3⁴ · 3². Основания совпадают, поэтому можно объединить множители и воспользоваться правилом умножения степеней. Сначала складываем показатели, а затем при необходимости вычисляем получившуюся степень. Такой порядок помогает не запутаться между основанием и показателями.
Ответ: 3⁶.
Вычислите 5⁶ : 5³. Основания одинаковы и не равны нулю, а показатель делимого больше показателя делителя. Значит, можно вычесть показатели, после чего вычислить оставшуюся степень. Сокращение трёх пар множителей пятёрки объясняет, почему в ответе остаётся 5³.
Ответ: 125.
Упростите выражение (x⁵ · x²) : x⁴ при x ≠ 0. Здесь сначала удобно объединить степени в скобках: их основания одинаковы, поэтому показатели складываются. Затем разделим полученную степень на x⁴ и вычтем показатели. Условие x ≠ 0 проверяем до деления и сохраняем для всего выражения.
Ответ: x³ при x ≠ 0.
Ошибка: при умножении степеней складывают основания вместо показателей, например считают, что a³ · a² = a⁵ из-за сложения самих чисел a. Так делают, перенося действие умножения на основания, хотя складывается количество одинаковых множителей. Проверь себя раскрытием степеней: в произведении должно остаться пять множителей a, то есть a⁵.
Ошибка: при делении складывают показатели или вычитают основания. Это возникает, если забыть, что деление сокращает одинаковые множители, а не меняет сами основания. Раскрой степени в произведение и зачеркни одинаковые множители сверху и снизу: число оставшихся множителей показывает, какую разность нужно записать в показателе.
Ошибка: применяют правило к степеням с разными основаниями. Например, нельзя объединять 2³ и 3² сложением показателей, потому что основания 2 и 3 дают разные множители. Проверь равенство оснований до преобразования: если они не совпадают, это правило использовать нельзя.
Ошибка: записывают 0⁰ = 1. Равенство a⁰ = 1 выводится делением ненулевой степени на такую же степень, а при основании 0 пришлось бы делить ноль на ноль. Перед записью нулевой степени проверь, что основание не равно нулю.
Чтобы работать со степенями, нужно знать их определение: понимать, как показатель задаёт число одинаковых множителей. Также пригодятся умножение и деление натуральных чисел и буквенных выражений, поскольку степени раскрываются в произведения и преобразуются по тем же вычислительным правилам. Эти знания позволяют объяснить, а не только запомнить действия с показателями.
Правила умножения и деления степеней применяют при упрощении одночленов и многочленов, а также при преобразовании выражений со степенями. Они помогают привести запись к более короткому виду, прежде чем подставлять числа или выполнять дальнейшие вычисления. Те же преобразования встречаются при решении уравнений, где нужно упростить обе части и сохранить допустимые значения букв.
Почему при умножении степеней складывают показатели?
Каждый показатель показывает, сколько раз основание входит в произведение. При умножении степеней с одинаковым основанием все эти множители объединяются, поэтому их общее количество равно сумме показателей.
Почему при делении степеней показатели вычитают?
При делении одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются. Если показатель делимого больше, после сокращения остаётся столько множителей, сколько показывает разность показателей.
Можно ли умножать степени с разными основаниями по этому правилу?
Нет, правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ требует одинакового основания. При разных основаниях множители не совпадают, поэтому их нельзя просто объединить, складывая показатели.
Почему основание в нулевой степени не может быть равно нулю?
Равенство a⁰ = 1 для ненулевого a объясняется делением aⁿ на aⁿ. При a = 0 пришлось бы делить 0 на 0, а такое действие не определено.
Что делать, если в выражении одновременно есть умножение и деление степеней?
Сначала проверь, что основания одинаковы, и запиши действия по порядку: при умножении показатели складывают, при делении вычитают. Если основание обозначено буквой, отдельно проверь ограничения, например что при делении оно не равно нулю.
19. Умножение и деление степеней
