"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Когда в степень возводят произведение или уже записанную степень, можно упростить вычисления с помощью двух правил. Произведение возводят в степень так: каждый его множитель возводят в эту же степень. При возведении степени в степень показатели перемножают. Эти правила помогают преобразовывать выражения с числами и буквами, работать с одночленами и не раскрывать скобки громоздким способом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень произведения — выражение вида (ab)ⁿ, в котором произведение ab возводится в степень n. Например, в (xy)³ основание степени — произведение xy, а показатель — число 3. Такое обозначение показывает, что всё произведение повторяется множителем три раза. Оно нужно, чтобы кратко записывать и преобразовывать повторное умножение нескольких множителей.
Возведение произведения в степень — действие, при котором каждый множитель возводится в ту же степень: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Например, (xy)³ = x³y³. Правило позволяет заменить степень произведения произведением степеней и упростить дальнейшие вычисления. При этом ни один множитель внутри скобок не пропускают.
Степень степени — выражение вида (aᵐ)ⁿ, в котором степень aᵐ сама возводится в степень n. Например, в (x²)³ сначала рассматривают квадрат x, а затем возводят его в третью степень. Скобки показывают, что показатель n относится ко всему выражению aᵐ. Это обозначение нужно, когда результат одного возведения в степень снова требуется возвести в степень.
Возведение степени в степень подчиняется правилу (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ: показатели m и n перемножаются. Так, (x²)³ = x⁶. Правило помогает записать выражение одной степенью, не раскрывая все скобки до конца. Показатели именно умножают, потому что степень aᵐ повторяется n раз.
Чтобы понять правило для степени произведения, вспомним, что натуральная степень означает повторное умножение. Выражение (ab)ⁿ — это n одинаковых скобок, в каждой из которых стоят a и b. Если раскрыть скобки, множители a окажутся рядом друг с другом, и так же сгруппируются множители b. Поэтому получится aⁿbⁿ: каждый множитель повторился n раз.
Рассмотрим конкретный случай: (ab)³ = (ab)(ab)(ab). Переставляя и группируя множители, получаем aaa · bbb, то есть a³b³. Перестановка допустима благодаря переместительному и сочетательному свойствам умножения: от порядка групп множителей произведение не меняется. Значит, правило верно не только для букв a и b, но и для любого числа множителей.
Теперь разберём степень степени. Запись (aᵐ)ⁿ означает, что выражение aᵐ умножают само на себя n раз. Например, (aᵐ)³ = aᵐ · aᵐ · aᵐ. Здесь каждая скобка содержит m множителей a, поэтому при объединении всех скобок число множителей зависит от обоих показателей.
В каждой из n скобок находится m множителей a, значит, всего их m · n. Следовательно, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Например, (a²)³ = a² · a² · a² = a⁶: три группы по два множителя дают шесть множителей a. Это объясняет, почему показатели умножаются, а не складываются или не остаются без изменений.
Если основание — произведение, а показатели содержат числа и буквы, правила можно применять по очереди. Например, (x²y)³ = (x²)³ · y³ = x⁶y³: сначала степень относится ко всем множителям произведения, затем упрощаем степень степени. Если основание содержит число, его тоже возводят в нужную степень: (2x)³ = 2³x³. При отрицательном множителе отдельно проверяют знак его степени по чётности показателя.
| Что возводится в степень | Правило | Как изменяются множители или показатели | Пример |
|---|---|---|---|
| Произведение: (ab)ⁿ | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | Каждый множитель возводится в степень n | (2x)³ = 2³x³ |
| Степень: (aᵐ)ⁿ | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | Показатели m и n перемножаются | (x⁴)³ = x¹² |
Сначала определи, что находится в скобках: произведение или степень. Если это произведение, возведи в указанную степень каждый множитель; если степень — перемножь показатели. Если встречаются оба вида записи, применяй подходящее правило на каждом шаге.
Задача 1. Упростить выражение (2x)³. В скобках стоит произведение числа 2 и буквы x, поэтому степень относится к обоим множителям. Сначала применим правило степени произведения, затем вычислим числовую степень. Так мы не перепутаем возведение всего произведения с возведением только буквы.
Ответ: 8x³. Проверка смысла: произведение 2x повторяется три раза, поэтому число 2 тоже перемножается трижды, а x становится множителем три раза.
Задача 2. Упростить выражение (a⁴)³. Здесь в скобках не произведение, а степень a⁴, которую возводят в третью степень. Значит, нужно перемножить показатели 4 и 3. Складывать показатели нельзя: каждая из трёх групп содержит по четыре множителя a.
Ответ: a¹². Можно проверить результат раскрытием скобок: три группы по четыре множителя a дают всего двенадцать множителей.
Задача 3. Упростить выражение ((−2x²y)³)². Внутри внешних скобок находится степень произведения, а всё выражение затем возводится в квадрат. Удобно сначала упростить внутреннюю степень: возвести в третью степень каждый множитель. Потом возводим полученные степени в квадрат и отдельно следим за знаком числа −2.
Ответ: 64x¹²y⁶. Числовой множитель положителен, потому что отрицательное число возводится в чётную степень 6; показатели букв получены умножением при двух последовательных возведениях в степень.
Ошибка: (ab)ⁿ = aⁿ + bⁿ. Так иногда рассуждают, перенося действие степени на сложение, но правило относится к произведению. Например, (2 · 3)² = 36, а 2² + 3² = 13, поэтому равенства нет. Чтобы проверить себя, раскрой скобки как повторное умножение и посмотри, какой знак стоит между множителями.
Ошибка: в выражении (aᵐ)ⁿ показатели складывают. Это происходит, когда путают повторение степени с другими правилами действий со степенями. Но здесь aᵐ повторяется n раз, и в каждой группе m множителей a, поэтому всего их m · n. Проверь правило на примере (a²)³: раскрытие даёт шесть множителей a, значит, результат a⁶, а не a⁵.
Ошибка: в скобках возводят в степень только один множитель. Причина — внимание сосредоточено на букве, а число или другая буква остаются без изменения. Однако показатель за скобками относится ко всему произведению, поэтому (2xy)³ = 2³x³y³. Для проверки подчеркни все множители внутри скобок и убедись, что показатель применён к каждому.
Ошибка: теряют минус при возведении отрицательного множителя. Минус иногда считают частью числа, а иногда ошибочно переносят в ответ независимо от показателя. Для чётного показателя пары отрицательных множителей дают плюс, а для нечётного один минус остаётся. Проверь знак отдельно: (−2)² = 4, но (−2)³ = −8.
Для этих правил нужно знать, что натуральная степень — это произведение одинаковых множителей, а также уметь перемножать и группировать множители. Основанием служат свойства умножения и правила работы с отрицательными числами: от них зависит, как преобразовать произведение и определить знак. Дальше эти формулы пригодятся при упрощении одночленов и выражений со степенями. С ними легче выполнять преобразования многочленов, когда встречаются произведения буквенных выражений.
Почему при возведении произведения в степень возводят каждый множитель?
Натуральная степень — это произведение одинаковых множителей. Поэтому (ab)ⁿ означает, что множители a и b повторяются вместе n раз, и их можно сгруппировать: получится aⁿbⁿ.
Почему при возведении степени в степень показатели перемножаются?
Выражение (aᵐ)ⁿ — это n одинаковых множителей aᵐ. В каждом из них содержится m множителей a, значит, всего их m · n, и результат равен aᵐⁿ.
Можно ли применять оба правила последовательно в одном выражении?
Да. Сначала можно применить правило к степени произведения, а затем — к каждой степени степени. Например, в ((xy²)³)² сначала получаем (x³y⁶)², а затем x⁶y¹².
Как возводить в степень произведение с отрицательным множителем?
Отрицательный множитель возводят в ту же степень, что и остальные. Если показатель чётный, его степень положительна, а если нечётный — отрицательна; например, (−2)³ = −8, а (−2)² = 4.
Можно ли использовать эти правила, если вместо чисел в выражении буквы?
Да, правила верны и для буквенных выражений. Например, (ab)⁴ = a⁴b⁴ и (x³)⁵ = x¹⁵; буквы обозначают числа, поэтому рассуждение остаётся тем же.
20. Возведение в степень произведения и степени
