"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Если в скобках стоит произведение, при возведении его в степень каждый множитель возводят в эту степень: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Если в степень возводят уже степень, показатели перемножают: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Эти правила помогают быстрее вычислять и упрощать выражения, а также выполнять преобразования в обратную сторону. Главное — не путать произведение с суммой и умножение показателей со сложением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень произведения — выражение вида (ab)ⁿ, в котором произведение возводится в натуральную степень. Здесь a и b — множители, а n показывает, сколько раз повторяется произведение ab. Такое обозначение удобно, когда одно и то же произведение умножают само на себя несколько раз. Оно позволяет записать длинное умножение короче.
Возведение произведения в степень — действие, при котором каждый множитель возводят в эту степень: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Например, число a повторяется n раз, и число b тоже повторяется n раз. Правило помогает преобразовать выражение со скобками в произведение степеней. Затем множители можно вычислять или упрощать по отдельности.
Степень степени — выражение вида (aᵐ)ⁿ, в котором уже возведённое в степень число снова возводится в степень. Внутренний показатель m показывает, сколько множителей a входит в одну степень aᵐ. Внешний показатель n указывает, сколько таких степеней перемножается. Это обозначение встречается при последовательном возведении выражения в степень.
Возведение степени в степень — действие, при котором показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Основание a при этом остаётся прежним, а два показателя превращаются в один. Правило нужно, чтобы записывать результат короче и упрощать выражения с несколькими уровнями степеней. Например, (a²)³ превращается в a⁶.
Натуральная степень с показателем n — это произведение n одинаковых множителей. Поэтому (ab)ⁿ означает, что выражение ab записано множителем n раз: (ab)(ab)…(ab). Скобки помогают увидеть, что именно повторяется целиком. Раскрывая их, мы не меняем множители, а лишь записываем их в более удобном порядке.
В раскрытом произведении каждый блок содержит один множитель a и один множитель b. Если таких блоков n, то a встретится n раз и b тоже встретится n раз. Переставим множители так, чтобы сначала шли все a, а затем все b: получится aⁿbⁿ. Значит, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ не является отдельным приёмом без объяснения — это запись того же самого произведения, сгруппированного иначе.
При возведении степени в степень повторяется уже не отдельное число, а целый блок aᵐ. Например, (aᵐ)ⁿ — это n блоков, в каждом из которых m множителей a. Если раскрыть скобки, общее число множителей окажется равным m · n. По определению степени это записывается как aᵐⁿ, поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Показатели умножаются, потому что считают число повторяющихся множителей.
Обе формулы применяются к произведению: между множителями стоит умножение, которое иногда не пишут. Так, ab и a · b обозначают одно и то же, а (2x)³ — произведение 2 и x в третьей степени. Преобразование можно выполнить и в обратную сторону, если показатели одинаковы: aⁿbⁿ = (ab)ⁿ. Также aᵐⁿ можно записать как (aᵐ)ⁿ, выбирая удобную форму для дальнейших вычислений.
| Выражение | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Произведение в степени | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 · 3)² = 2² · 3² |
| Степень в степени | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (x²)³ = x⁶ |
| Обратное применение | aⁿbⁿ = (ab)ⁿ; aᵐⁿ = (aᵐ)ⁿ | 5² · 7² = 35²; x⁶ = (x²)³ |
Сначала определите, что находится в скобках: произведение или степень. Затем выберите подходящую строку и проверьте, что изменилось: множители получили одинаковые показатели или показатели перемножились. Обратное применение удобно, когда нужно объединить множители или представить степень в более подходящем виде.
Задача 1. Вычислите 4² · 5², применив правило возведения произведения в степень. У степеней одинаковый показатель 2, поэтому их можно объединить в одну степень произведения. Сначала найдём произведение оснований, а затем возведём его в квадрат. Такой путь короче, чем вычислять обе степени отдельно и перемножать результаты.
Ответ: 400. Проверка: 4² = 16, а 5² = 25; произведение 16 · 25 также равно 400. Оба способа дают одинаковый результат.
Задача 2. Упростите выражение (a³)⁴. Здесь в степень возводится не произведение, а уже имеющаяся степень. Основание a остаётся неизменным, а показатели 3 и 4 нужно перемножить. Складывать их нельзя: каждый из четырёх блоков содержит по три множителя a.
Ответ: a¹². Можно проверить результат раскрытием скобок: четыре блока по три множителя a дают двенадцать множителей. Это и есть степень a¹².
Задача 3. Упростите выражение (2x²)³ и найдите его значение при x = 2. В скобках стоит произведение двух множителей, поэтому возводим в третью степень и число 2, и выражение x². Затем к степени степени применяем второе правило. Подставлять x удобнее после упрощения, чтобы не возводить в степень длинное выражение.
Ответ: 8x⁶; при x = 2 значение выражения равно 512. Здесь важно возвести в третью степень оба множителя в скобках. Полученный результат можно проверить и прямой подстановкой в исходное выражение.
Ошибка: записать (ab)ⁿ = aⁿ + bⁿ. Так происходит, когда правило для произведения ошибочно переносят на сложение, хотя степень означает повторное умножение. Проверка на числах быстро обнаружит неверный ответ: (2 · 3)² = 36, а 2² + 3² = 13. Для произведения нужно умножать степени, а не складывать их.
Ошибка: при возведении степени в степень сложить показатели и получить (aᵐ)ⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Обычно путают это правило с другими действиями над степенями, но здесь повторяется группа из m множителей n раз. Поэтому число множителей находят умножением m · n. Проверить можно раскрытием скобок, посчитав множители a.
Ошибка: возвести в степень только один множитель, например записать (2x)³ как 2x³. Скобки охватывают произведение целиком, поэтому и число 2, и x повторяются в каждом из трёх блоков. Правильная запись — 2³x³. Чтобы проверить себя, раскройте скобки: (2x)(2x)(2x) содержит три двойки и три множителя x.
Ошибка: применить правило степени произведения к сумме и заменить (a + b)ⁿ на aⁿ + bⁿ. Внутри скобок здесь сложение, а формула относится только к умножению. Например, (2 + 3)² = 25, тогда как 2² + 3² = 13. Перед применением правила проверьте знак между выражениями в скобках.
Для работы с этими правилами нужно знать смысл степени с натуральным показателем: она обозначает произведение одинаковых множителей. Также полезно уметь перемножать степени с одинаковым основанием, чтобы отличать это действие от возведения степени в степень. Освоенные преобразования пригодятся при упрощении алгебраических выражений и работе с одночленами и многочленами. Они помогают привести запись к удобному виду перед дальнейшими вычислениями.
Почему при возведении степени в степень показатели перемножаются?
Степень с натуральным показателем означает повторное умножение одинаковых множителей. В выражении (aᵐ)ⁿ блок aᵐ повторяется n раз, поэтому множитель a встречается всего m · n раз.
Нужно ли возводить в степень каждый множитель в скобках?
Да, если в скобках стоит произведение: каждый его множитель возводят в указанную степень. Например, (2x)³ = 2³x³.
Можно ли применить правило к сумме в скобках?
Нет, правило (ab)ⁿ = aⁿbⁿ относится к произведению, а не к сумме. Например, (a + b)² обычно не равно a² + b².
Как упростить выражение, если произведение степеней имеет одинаковые показатели?
Объедините основания в произведение и оставьте общий показатель: aⁿbⁿ = (ab)ⁿ. Например, 5² · 7² = (5 · 7)² = 35².
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки при возведении произведения в степень?
Проверьте, что в степень возведён каждый множитель и показатели остались одинаковыми. Для числового примера можно вычислить обе части: (2 · 3)² и 2² · 3² равны 36.
20. Возведение в степень произведения и степени
