§ 8. Одночлены

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней, например 5a²b. Его множители соединены умножением, поэтому запись 3x − 2 одночленом не является: в ней есть разность. Такое различие нужно, чтобы понимать, какие правила преобразования можно применять к выражению.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой сначала стоит числовой множитель, а затем степени различных переменных, например 6a³b. Если переменная повторяется, её записывают один раз, складывая показатели: a · a² = a³. Стандартная запись помогает быстрее увидеть состав выражения и выполнять действия без лишних шагов.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель в стандартном виде. В записи −4x²y коэффициент равен −4; если число перед буквами не написано, коэффициент равен 1, а знак минус без числа означает коэффициент −1. Это правило позволяет не путать невидимый множитель с его отсутствием.

Степень одночлена — сумма показателей степеней переменных в стандартном виде. Например, степень 3a²b⁴ равна 2 + 4 = 6, а число 3 в сумму не входит. Степень показывает общую сумму показателей буквенной части и нужна для сравнения одночленов и дальнейших вычислений.

Как это устроено

Одночленом называют произведение допустимых множителей, потому что перемножение чисел и переменных сохраняет вид одной буквенно-числовой части. Например, 3 · a · b² — одночлен. Сумма 3a + b² уже состоит из двух слагаемых, а не образует одно произведение. Переменная в знаменателе означала бы отрицательный показатель: 4/y = 4y⁻¹; под корнем — дробный показатель, поэтому такие записи не относятся к одночленам в этом определении.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, сначала собери числовые множители, а затем сгруппируй одинаковые буквы. Числа перемножаются обычным способом, а при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: a² · a³ = a⁵. Например, 2a · 3a²b = 6a³b. Такой порядок удобен, потому что каждый множитель оказывается на своём месте, а повторяющиеся переменные не мешают подсчёту.

В стандартной записи коэффициент читают по числу перед буквами, учитывая знак. В выражении x²y числовой множитель не виден, но подразумевается: это 1 · x²y, значит, коэффициент равен 1. В записи −x²y подразумевается множитель −1. Степень находят отдельно: складывают показатели букв, а переменную с показателем 1 учитывают как показатель 1; коэффициент в подсчёт не включают.

При умножении одночленов числовые части перемножают, а степени одинаковых переменных объединяют сложением показателей. Например, (2x²y) · (3xy³) = 6x³y⁴: числа дали 6, показатели x сложились как 2 + 1, показатели y — как 1 + 3. Если переменная есть только в одном множителе, её степень просто переписывают. Так умножение сводится к знакомым действиям с числами и степенями.

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в неё каждый множитель: и коэффициент, и каждую переменную. Это следует из смысла степени как повторного умножения скобки на себя: (2x²)³ = (2x²)(2x²)(2x²) = 8x⁶. В результате коэффициент тоже возводится в степень, а показатели переменных умножаются на показатель степени: (x²)³ = x⁶. Знак учитывают вместе с числовым множителем.

Примеры одночленов и их характеристики

Сначала в каждой строке перемножь числа и собери одинаковые переменные, затем прочитай коэффициент и сложи показатели для нахождения степени. Проверь, что каждая буква записана только один раз.

Разбор задач

Задача 1

Определите, какие из выражений 5a²b, 3x − 2, 4/y являются одночленами. Для подходящих выражений укажите коэффициент и степень. Сначала проверим строение каждой записи: нужно убедиться, что она является произведением допустимых множителей. Затем для одночлена отдельно определим число перед буквами и сложим показатели.

1. 5a²b — произведение числа и переменных в допустимых степенях, значит, это одночлен. Коэффициент равен 5, степень — 2 + 1 = 3.
2. 3x − 2 содержит вычитание двух слагаемых, поэтому одночленом не является.
3. 4/y содержит переменную в знаменателе, то есть y⁻¹, поэтому это не одночлен.

Ответ: одночленом является 5a²b; его коэффициент 5, степень 3. Остальные выражения одночленами не являются.

Задача 2

Приведите к стандартному виду и укажите степень одночлена: −2a · 3a²b · (−b³). Удобно считать отдельно числа и буквенную часть: так знак результата не потеряется среди показателей. После упрощения степень найдём по готовой записи.

1. Перемножим числовые множители: (−2) · 3 · (−1) = 6. Два отрицательных множителя дают положительный результат.
2. Соберём одинаковые буквы: a · a² = a³, а b · b³ = b⁴. Получаем 6a³b⁴.
3. Сложим показатели переменных: 3 + 4 = 7. Число 6 при нахождении степени не учитываем.

Ответ: стандартный вид — 6a³b⁴, степень одночлена — 7.

Задача 3

Упростите выражение и запишите результат в стандартном виде: (−2x²y)³ · 3xy². Здесь есть два действия: сначала нужно возвести первый одночлен в степень, после чего перемножить получившиеся одночлены. Такой порядок помогает не забыть возвести в куб числовой коэффициент.

1. Возведём каждый множитель в куб: (−2)³ = −8, (x²)³ = x⁶, y³ = y³. Получаем −8x⁶y³.
2. Умножим результат на 3xy²: коэффициенты дают (−8) · 3 = −24.
3. Объединим одинаковые переменные: x⁶ · x = x⁷, y³ · y² = y⁵. Получаем −24x⁷y⁵.

Ответ: −24x⁷y⁵.

Типичные ошибки

Сумму одночленов иногда принимают за один одночлен, потому что все части записи содержат числа и буквы. Но в одночлене множители соединены умножением, а знак плюс или минус между частями отделяет слагаемые. Проверь запись: если есть сложение или вычитание отдельных частей, перед тобой не один одночлен.

При приведении к стандартному виду или умножении часто оставляют одинаковые переменные несобранными. Это происходит, если забыть правило степеней и просто переписать буквы. Например, x² · x³ нужно заменить на x⁵, а не на x²x³: проверь, сложены ли показатели каждой одинаковой переменной.

Ещё одна ошибка — включать коэффициент в степень одночлена, например складывать показатель числа 5 с показателями букв. Число не является переменной, поэтому его показатель не участвует в определении степени. Для самопроверки выпиши только показатели букв и сложи их; у 5a²b³ получится 2 + 3 = 5.

При возведении одночлена в степень иногда возводят только буквенную часть, забывая про коэффициент. Так происходит, когда внимание сосредоточено на показателях переменных. Проверь каждый множитель скобки отдельно: в (−2x²)³ нужно вычислить и (−2)³, и (x²)³, поэтому результат равен −8x⁶.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужны умение читать буквенные выражения, выполнять действия с целыми числами и применять правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Если эти правила знакомы, упрощение одночлена сводится к понятным вычислениям: числа перемножаются, а показатели одинаковых букв складываются. Одночлены станут основой для изучения многочленов и их умножения. Эти навыки также пригодятся при упрощении более сложных алгебраических выражений.

Что запомнить

• Одночлен — произведение чисел и переменных в допустимых степенях.
• В стандартном виде одинаковые переменные записывают с одним показателем.
• Коэффициент — числовой множитель одночлена.
• Степень одночлена равна сумме показателей степеней переменных.
• При умножении одночленов коэффициенты перемножают, показатели одинаковых переменных складывают.
• При возведении одночлена в степень каждый его множитель возводят в эту степень.