1.5. Одночлены

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел и переменных, взятых с неотрицательными целыми показателями. Например, 5x²y и −3ab³ — одночлены, а a + b — нет. Это определение помогает отличать отдельный множительный объект от суммы, которую изучают как многочлен.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В записи 6x² коэффициент равен 6, а в −y коэффициент равен −1; если число не написано, подразумевается 1. По коэффициенту удобно понимать, каким числом умножены переменные.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой числовой множитель стоит первым, а каждая переменная записана в одной степени. Например, 3a · 2a²b можно записать как 6a³b. Такая форма позволяет быстро находить коэффициент и степень.

Степень одночлена — сумма показателей всех переменных в его стандартном виде. Например, степень 4x²y равна 2 + 1 = 3. Она показывает общий показатель буквенных множителей и помогает сравнивать одночлены.

Как это устроено

Одночлен образуется умножением, поэтому его множители можно переставлять и группировать, не меняя значения произведения. Переменные в нём должны иметь неотрицательные целые показатели: это означает, что переменная может быть множителем несколько раз или вообще отсутствовать. Если переменная находится в знаменателе, то после переноса наверх её показатель станет отрицательным, а такое выражение определению одночлена не соответствует.

Чтобы распознать коэффициент, отдели числовой множитель от буквенных. В записи −8x²y числовая часть — −8, а переменные — x и y; знак минус тоже входит в коэффициент. Если перед буквами ничего нет, коэффициент равен 1, а если записан только знак минус — −1. Буква без показателя означает первую степень: x — это x¹, поэтому её показатель тоже нужно учитывать.

Чтобы привести произведение к стандартному виду, сначала переставь множители так, чтобы число оказалось впереди. Затем перемножь числовые множители, а одинаковые переменные объедини, сложив их показатели. Например, a · a³ означает четыре множителя a, поэтому получается a⁴. Разные переменные не объединяют: результат для a²b остаётся с обеими буквами.

После записи одночлена в стандартном виде сложи показатели всех переменных. Например, у 2x³y² степень равна 3 + 2 = 5. Показатели складываются при одинаковом основании, потому что x³y³ содержат вместе шесть множителей x и y только в случае одинаковой буквы: x³ · x² = x⁵. Для разных букв мы складываем их показатели только при определении общей степени одночлена, а не заменяем сами переменные одной.

Ненулевое число можно считать одночленом без переменных: в нём нет показателей, и сумму показателей принимают равной 0. Поэтому числа 8 и −5 имеют степень 0. У нуля степень не определяют: нулевой коэффициент делает произведение равным нулю при любом наборе переменных, так что однозначно приписать ему степень нельзя.

Элементы одночлена и способы их определения

Используй таблицу как краткую последовательность действий: сначала проверь, является ли выражение одночленом, затем найди числовой множитель и стандартную запись. Степень определяй только после приведения к стандартному виду, считая показатель 1 у каждой буквы без степени. Для ненулевого числа отдельное правило — степень 0.

Разбор задач

1. Какие выражения являются одночленами?

Условие: укажите, какие из выражений 5x²y, 3/x, −7 и a + b являются одночленами. Проверим каждое выражение по определению: одночлен должен быть произведением, а показатели переменных — неотрицательными целыми числами. Это позволит не спутать одночлен с дробью или суммой.

1. 5x²y — произведение числа и переменных. У x показатель 2, у y показатель 1, значит, это одночлен.
2. 3/x можно записать как 3x⁻¹. Показатель −1 отрицательный, поэтому выражение не является одночленом.
3. −7 — ненулевое число, то есть одночлен без переменных.
4. a + b — сумма, а не произведение. Следовательно, это не одночлен.

Ответ: одночлены — 5x²y и −7; выражения 3/x и a + b одночленами не являются.

2. Приведение к стандартному виду

Условие: приведите 4a · (−2a³b) к стандартному виду и укажите коэффициент. Здесь два числовых множителя и две одинаковые переменные a, поэтому их нужно обработать отдельно. Буква b встречается один раз и сохраняется в первой степени.

1. Перемножим числа: 4 · (−2) = −8. Отрицательный знак входит в результат.
2. Объединим множители a и a³. У первой буквы показатель 1, поэтому 1 + 3 = 4 и получаем a⁴.
3. Запишем число впереди, а буквы после него: −8a⁴b. Это стандартный вид, в котором коэффициент равен −8.

Ответ: −8a⁴b; коэффициент −8. Проверка: буквенные множители исходного произведения — a, a, a, a и b, так что результат сохраняет все пять буквенных множителей.

3. Коэффициент и степень

Условие: для одночлена −3x²y⁴z найдите коэффициент и степень, затем сравните его степень со степенью одночлена 8. Первый одночлен уже записан в стандартном виде: числовая часть стоит впереди, а одинаковые переменные не повторяются. У переменной z показатель не указан, значит, он равен 1.

1. Числовой множитель с его знаком — −3. Следовательно, коэффициент одночлена равен −3.
2. Сложим показатели переменных: 2 + 4 + 1 = 7. Значит, степень одночлена −3x²y⁴z равна 7.
3. Число 8 не содержит переменных. Это ненулевое число-одночлен степени 0.
4. Сравним степени: 7 больше 0, поэтому первый одночлен имеет степень выше, чем 8.

Ответ: коэффициент равен −3, степень первого одночлена — 7, степень числа 8 — 0; 7 > 0.

Типичные ошибки

Ошибка: считать выражение с переменной в знаменателе одночленом, потому что оно похоже на произведение числа и буквы. Причина в том, что не замечают отрицательный показатель: 1/x = x⁻¹. Проверь себя, переписав знаменательную переменную в виде степени; если её показатель отрицательный, выражение не одночлен.

Ошибка: перемножать показатели одинаковых переменных при приведении к стандартному виду. Например, можно ошибочно записать a · a³ как a³. Так путают умножение степеней с умножением чисел; при одинаковом основании показатели складываются, поэтому правильный результат — a⁴. Проверь ответ, представив степени как повторяющиеся множители.

Ошибка: не учитывать показатель 1 у буквы без степени. Тогда степень x²y⁴z посчитают как 2 + 4, хотя z тоже даёт один множитель и показатель 1. Чтобы проверить себя, мысленно запиши z как z¹ и сложи показатели всех переменных.

Ошибка: приписывать свободному числу положительную степень, считая, что оно обязательно имеет степень 1. Число — одночлен без переменных, поэтому сумма показателей в нём равна 0. Проверь, есть ли в записи буквы: если их нет и число ненулевое, его степень равна 0.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужны навыки умножения чисел и степеней с одинаковыми основаниями, а также умение читать буквенные выражения. Например, правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ помогает приводить произведения к стандартному виду. Позже оно пригодится при умножении и делении одночленов, а затем — при изучении многочленов, которые состоят из нескольких одночленов.

Что запомнить

• Одночлен — произведение чисел и переменных с неотрицательными целыми показателями.
• В стандартном виде числовой множитель стоит первым.
• Коэффициент — числовой множитель одночлена.
• При умножении степеней одной переменной их показатели складывают.
• Степень одночлена равна сумме показателей переменных.
• Ненулевое число — одночлен степени 0.
• Степень нулевого одночлена не определяют.