1.4. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями. Возведение степени в степень

Определения и обозначения

Степенью с натуральным показателем называют произведение нескольких одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где множитель a повторяется n раз. Число a называют основанием степени, а n — показателем. Например, в записи 3⁴ основание равно 3, и оно входит в произведение четыре раза. Это обозначение позволяет короче записывать повторное умножение и видеть, сколько множителей нужно взять.

Умножением степеней с одинаковыми показателями называют действие, при котором произведение таких степеней заменяют степенью произведения оснований: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ. Показатели в обеих степенях должны совпадать, а показатель результата остаётся таким же. Например, 2³ · 5³ можно записать как (2 · 5)³. Правило удобно, когда хочется объединить несколько степеней в одну.

Деление степеней с одинаковыми показателями — это замена частного степеней степенью частного оснований: aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ. Показатели должны быть равны, а основание делителя b не может быть нулём. Например, 12² : 3² превращается в (12 : 3)². Такое преобразование упрощает вычисления, если делить основания легче, чем вычислять обе степени отдельно.

Возведением степени в степень называют действие, при котором степень, возведённую в другую степень, записывают как степень с тем же основанием: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Основание здесь — выражение aᵐ, а внешний показатель n показывает, сколько раз его повторяют при умножении. В результате показатели m и n перемножаются. Это правило помогает убрать скобки и привести запись к одной степени.

Как это устроено

Равенство aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ видно, если раскрыть обе степени. Например, a³ · b³ = a · a · a · b · b · b. Множители можно переставить и сгруппировать попарно: (a · b) · (a · b) · (a · b). Получилось три одинаковых множителя ab, то есть (ab)³; при любом общем показателе повторяется та же группировка. Поэтому перемножают основания, а показатель оставляют без изменения.

Чтобы понять правило деления, раскроем степени: a³ : b³ = (a · a · a) : (b · b · b). При b ≠ 0 каждую пару соответствующих множителей можно заменить отношением a : b. Получается (a : b) · (a : b) · (a : b), то есть (a : b)³. Для любого общего показателя рассуждение такое же: частное оснований повторяется n раз, а делить на ноль нельзя.

Степень степени раскрывается как повторное умножение одинаковых степеней. Например, (a³)² = a³ · a³ = (a · a · a) · (a · a · a) = a⁶. В каждой из двух групп по три множителя a, всего их шесть; значит, число множителей равно произведению показателей. Поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, а основание a при преобразовании остаётся прежним.

Сравни три правила: в формулах aⁿ · bⁿ и aⁿ : bⁿ показатели уже равны, поэтому меняют основания, сохраняя n. В формуле (aᵐ)ⁿ основанием внешней степени является целое выражение aᵐ, и здесь перемножают показатели. Перед вычислением найди основание каждой степени и посмотри, что именно совпадает: показатели или основания. Так проще выбрать правило и не перепутать его с другими действиями со степенями.

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями. Степень степени

Сначала найди нужную строку по виду действия, затем проверь условие в этой строке. В первой и второй строках показатели степеней должны совпадать, а во второй дополнительно проверяют, что делитель не равен нулю. В третьей строке одну степень возводят в другую, поэтому перемножают показатели.

Разбор задач

Представьте произведение 3² · 4² в виде одной степени. Нужно определить, какое условие совпадает: основания здесь разные, зато показатели равны двум. Значит, подходит правило умножения степеней с одинаковыми показателями, и основания можно объединить. Сначала запишем преобразование, а затем проверим результат вычислением.

1. Сравним показатели: в обеих степенях стоит 2.
2. Применим правило: 3² · 4² = (3 · 4)².
3. Перемножим основания: (3 · 4)² = 12².
4. Проверим: 3² · 4² = 9 · 16 = 144, и 12² = 144.

Ответ: 12². Здесь не складывают показатели, потому что основание у степеней разное, а одинаковы именно показатели. Проверка раскрытием показывает, что преобразование сохраняет значение выражения. Если требуется только одна степень, вычислять 12² дальше не обязательно.

Вычислите 18³ : 6³, применив правило деления степеней с одинаковыми показателями. Сначала проверим, что деление разрешено: основание делителя 6 не равно нулю. Показатели равны, поэтому разделим основания и сохраним общий показатель. После этого вычислим полученную степень.

1. Убедимся, что 6 ≠ 0, и сравним показатели: они оба равны 3.
2. Применим правило: 18³ : 6³ = (18 : 6)³.
3. Разделим основания: (18 : 6)³ = 3³.
4. Вычислим: 3³ = 3 · 3 · 3 = 27.

Ответ: 27. Делить отдельно 18³ на 6³ не требуется: правило позволяет выполнить более простое деление оснований. Показатель 3 сохранился, потому что в частном были степени с одинаковым показателем. Проверка условия о ненулевом делителе нужна до применения формулы.

Упростите выражение (a³)² · a⁴ и найдите значение при a = 2. Здесь встречаются два действия, поэтому сначала упростим выражение в скобках, а затем рассмотрим произведение. Возводя степень в степень, перемножим показатели; после этого у степеней окажутся одинаковые основания. Полученную степень подставим в выражение и вычислим.

1. Применим правило степени степени: (a³)² = a³·² = a⁶.
2. Запишем всё выражение: a⁶ · a⁴.
3. У степеней одинаковое основание a, поэтому складываем показатели: a⁶ · a⁴ = a¹⁰.
4. Подставим a = 2: 2¹⁰ = 1024.

Ответ: выражение упрощается до a¹⁰, а при a = 2 его значение равно 1024. В этой задаче сначала умножаются показатели при возведении степени в степень, а затем применяется правило произведения степеней с одинаковым основанием. Это правило отличается от умножения степеней с одинаковыми показателями из предыдущего примера. Порядок действий помог не смешать два разных случая.

Типичные ошибки

При умножении степеней с одинаковыми показателями иногда складывают показатели, как будто основания одинаковы. Такая ошибка возникает из-за сходства с правилом aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, но оно применяется при одинаковом основании. Здесь нужно умножить основания и оставить общий показатель: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ. Для проверки подставь простые числа и сравни значения обеих частей.

При делении степеней с одинаковыми показателями могут вычесть показатели, перепутав правило с делением степеней с одинаковым основанием. Но если показатели равны, делят основания и сохраняют показатель: aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ. Проверь, что основания действительно разные или могут быть разными, а совпадают именно показатели. Подстановка небольших чисел поможет заметить неверный результат.

В выражении (aᵐ)ⁿ иногда складывают m и n. Скобки показывают, что целую степень aᵐ возводят в степень n, то есть повторяют её n раз. Поэтому всего получается mn множителей a, и показатели надо перемножить: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Проверить себя можно раскрытием степеней на простом примере, например (a²)³ = a⁶.

Правило деления применяют, не проверив основание делителя. Это опасно, потому что деление на ноль не определено, даже если показатели степеней равны. Перед преобразованием aⁿ : bⁿ убедись, что b ≠ 0. Если основание делителя равно нулю, исходное частное не имеет смысла и формулу использовать нельзя.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что означает степень с натуральным показателем, и уметь раскрывать её как произведение одинаковых множителей. Также пригодятся вычисление степеней и действия с целыми числами: правила не заменяют вычисления, а упрощают их. При преобразовании буквенных выражений важно уверенно различать основание и показатель. Позже эти умения пригодятся при упрощении выражений, решении уравнений и преобразовании многочленов.

Что запомнить

• При умножении степеней с одинаковыми показателями перемножают основания.
• При делении степеней с одинаковыми показателями делят основания.
• При делении основание делителя не должно быть равно нулю.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• Внимательно различай одинаковые показатели и одинаковые основания.
• Перед применением правила проверь, к каким именно основаниям и показателям оно относится.