1.3. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Определения и обозначения

Степень с натуральным показателем — это произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где множитель a повторяется n раз. Например, 5³ = 5 · 5 · 5. Такое обозначение помогает коротко записывать длинное произведение.

Основание степени — число или переменная a, которую возводят в степень. В записи aⁿ основание находится слева внизу. Именно оно показывает, какой множитель повторяется.

Показатель степени — натуральное число n, записанное справа сверху от основания. Он показывает, сколько одинаковых множителей нужно перемножить. Поэтому по показателю можно определить длину произведения, не раскрывая его сразу.

Степени с одинаковым основанием — это степени, у которых совпадает основание, например aᵐ и aⁿ или 3⁵ и 3². Совпадение оснований позволяет объединять или сокращать одинаковые множители. Если основания различны, правила этого параграфа применять нельзя.

Как это устроено

При умножении степеней с одинаковым основанием множители двух произведений соединяются в одну цепочку. В первой степени их m штук, а во второй — n штук, поэтому всего получается m + n множителей a. Отсюда следует правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ: основание сохраняется, а показатели складываются.

Например, в произведении a³ · a² сначала можно раскрыть степени: (a · a · a) · (a · a). После объединения получится пять множителей a, то есть a⁵. Такой подсчёт показывает, почему показатели не умножаются, а именно складываются.

При делении степеней с одинаковым основанием одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются. Если в числителе было m множителей, а в знаменателе n, то после сокращения останется m − n множителей. Поэтому aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при a ≠ 0 и m ≥ n.

Условие a ≠ 0 нужно потому, что знаменатель степени aⁿ не должен быть нулём. Условие m ≥ n позволяет получить степень с натуральным или нулевым показателем в рамках изучаемого правила. Например, a⁵ : a² = a³, потому что два множителя сокращаются, а три остаются.

Решать такие выражения удобно в два шага. Сначала проверьте, одинаковы ли основания и какое действие выполняется, а затем сложите или вычтите показатели, не меняя основание. Если действий несколько, соблюдайте их порядок и применяйте правило к подходящей паре степеней.

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Сначала найдите в выражении одинаковые основания, затем определите действие между степенями. В последнем столбце показано, как правило превращает выражение в более простое.

Если основание числовое, после упрощения можно вычислить степень. Если основание буквенное, обычно достаточно оставить полученный результат в виде степени.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2³ · 2⁴.

Основания обеих степеней равны 2, поэтому правило умножения подходит. Сначала объединим степени, а затем найдём значение полученной степени. Такой порядок уменьшает число отдельных вычислений.

1. Складываем показатели: 3 + 4 = 7.
2. Записываем одну степень с тем же основанием: 2³ · 2⁴ = 2⁷.
3. Вычисляем: 2⁷ = 128.

Ответ: 128.

Задача 2. Упростите x⁸ : x³ при x ≠ 0.

Основания одинаковы и равны x, а перед нами деление. Показатель делителя нужно вычесть из показателя делимого: 3 вычитается из 8. Условие x ≠ 0 разрешает выполнить деление.

1. Проверяем основание: обе степени имеют основание x.
2. Вычитаем показатели: 8 − 3 = 5.
3. Сохраняем основание: x⁸ : x³ = x⁵.

Ответ: x⁵.

Задача 3. Упростите и вычислите 3⁵ · 3² : 3⁴.

Все степени имеют основание 3, поэтому можно последовательно работать с показателями. Сначала выполним умножение, а затем деление полученной степени. Основание во всех шагах останется прежним.

1. При умножении складываем показатели: 3⁵ · 3² = 3⁷.
2. При делении вычитаем показатель делителя: 3⁷ : 3⁴ = 3³.
3. Вычисляем полученную степень: 3³ = 27.

Ответ: 27.

Типичные ошибки

Ошибка: при умножении показателей получают, например, a⁶ · a² = a¹². Так происходит, когда путают действия над показателями с умножением самих степеней. Проверьте себя раскрытием скобок: общее число множителей равно 6 + 2, а не 6 · 2.

Ошибка: при делении складывают показатели или вычитают их в обратном порядке. Нужно брать показатель делимого и вычитать из него показатель делителя: a⁷ : a³ = a⁴. Для проверки представьте дробь и сократите три одинаковых множителя.

Ошибка: правило применяют к разным основаниям, например 2³ · 3⁴ заменяют одной степенью. Причина — внимание сосредоточено на показателях, а основание не проверяется. Перед вычислением сравните числа или буквы под степенями.

Ошибка: считают допустимым деление при нулевом основании. При a = 0 знаменатель 0ⁿ равен нулю, а делить на ноль нельзя. В каждом примере с делением отдельно убедитесь, что основание не равно нулю.

Связь с другими темами

До изучения правила нужно знать определение степени с натуральным показателем и уметь умножать и делить натуральные числа. Эти знания позволяют понять, откуда берутся сумма и разность показателей.

Правила используются при упрощении алгебраических выражений и работе с одночленами. Позже они помогут изучать степени с целыми показателями и выполнять более сложные преобразования.

Что запомнить

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают.
• При делении из показателя делимого вычитают показатель делителя.
• Основание в результате остаётся тем же.
• Правила применяют только при одинаковых основаниях.
• При делении основание должно быть ненулевым.
• Перед применением правила проверьте действие и порядок степеней.