1.2. Степени с натуральными показателями и их свойства

Определения и обозначения

Степень с натуральным показателем — произведение нескольких одинаковых множителей. Например, 5 · 5 · 5 записывают короче: 5³. Такая запись удобна, когда один и тот же множитель повторяется много раз, и помогает быстрее выполнять вычисления.

Основание степени — число, которое повторяется в произведении. В записи 7⁴ основание — 7, потому что именно оно становится каждым множителем: 7 · 7 · 7 · 7. По основанию можно понять, какое число нужно умножать само на себя.

Показатель степени — натуральное число, которое показывает, сколько одинаковых множителей входит в произведение. В записи 7⁴ показатель — 4, а не число 7. Он нужен, чтобы сразу увидеть количество повторений основания и восстановить исходное произведение.

Степень числа — значение произведения, заданного основанием и показателем. Чтобы найти значение 3⁴, умножаем 3 на себя четыре раза: 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Вычисляя степень, сначала раскрывай запись как произведение, а затем выполняй умножение.

Как это устроено

Если в произведении одинаковые множители, его можно заменить степенью: множитель становится основанием, а количество его повторений — показателем. Например, 8 · 8 · 8 · 8 = 8⁴. Чтобы сделать обратное преобразование, раскрываем степень и записываем основание столько раз, сколько указывает показатель: 6³ = 6 · 6 · 6. Это две формы записи одного и того же произведения.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, потому что в произведении собираются все множители основания из обеих степеней. Например, 3² · 3⁴ = (3 · 3) · (3 · 3 · 3 · 3), то есть всего шесть множителей 3. Поэтому 3² · 3⁴ = 3⁶, а в общем случае aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием общие множители сокращаются, и остаётся столько оснований, сколько было в делимом сверх делителя. Поэтому aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, если m ≥ n и a ≠ 0. Нулевое основание запрещено: деление на ноль не имеет смысла. Например, 5⁵ : 5² = 5³, потому что после сокращения остаются три множителя 5.

При возведении степени в степень показатель умножается на показатель внешней степени. Например, (2³)² означает, что произведение 2 · 2 · 2 повторяется два раза: всего получается шесть множителей 2. Поэтому (2³)² = 2⁶, а общее правило записывается так: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Здесь важно отличать повторение всей степени от умножения двух степеней.

Если в степень возводят произведение, степень относится к каждому множителю: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Это получается потому, что произведение ab повторяется n раз, и множители можно сгруппировать отдельно по основанию a и по основанию b. Для частного действует похожее правило: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, если b ≠ 0. Делитель не должен быть нулём ни в исходном частном, ни в результате преобразования.

Основные свойства степеней с натуральными показателями

Сначала определите, какая операция выполняется: умножение, деление или возведение степени в степень. Затем проверьте, совпадают ли основания и соблюдены ли условия формулы. Если выражение содержит несколько действий, применяйте свойства по шагам и не меняйте порядок делимого и делителя.

Разбор задач

Задача 1. Представить произведение 5 · 5 · 5 · 5 в виде степени и указать её основание и показатель.

1. Проверяем, одинаковы ли множители: каждый из них равен 5.
2. Берём повторяющееся число за основание, а число повторений считаем показателем. Множителей четыре, поэтому получаем 5⁴.
3. Сверяем запись с исходным произведением: 5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5. Основание степени — 5, показатель — 4.

Ответ: 5⁴; основание — 5, показатель — 4.

Задача 2. Упростить выражение 3⁴ · 3² и вычислить его значение.

1. В обеих степенях основание одинаковое — 3, значит, при умножении складываем показатели: 3⁴ · 3² = 3⁴⁺² = 3⁶.
2. Вычисляем полученную степень как произведение шести троек: 3⁶ = 729.
3. Можно проверить правило по числу множителей: первая степень содержит четыре тройки, вторая — две, всего их шесть.

Ответ: 3⁴ · 3² = 3⁶ = 729.

Задача 3. Упростить выражение (2³)² · (2 · 5)² : 2⁴, указав используемые свойства.

1. Сначала возводим степень в степень: (2³)² = 2⁶, потому что показатели перемножаются. Затем раскрываем степень произведения: (2 · 5)² = 2² · 5².
2. Получаем 2⁶ · 2² · 5² : 2⁴. Объединяем степени с основанием 2: сначала при умножении складываем показатели, затем при делении вычитаем: 2⁶⁺²⁻⁴ · 5² = 2⁴ · 25.
3. Вычисляем: 2⁴ = 16, поэтому 16 · 25 = 400. Основание 2 ненулевое, значит, деление допустимо.

Ответ: 400. Использованы свойства степени степени, степени произведения, умножения и деления степеней с одинаковым основанием.

Типичные ошибки

При умножении степеней с одинаковым основанием иногда перемножают показатели: например, ошибочно записывают 3² · 3⁴ = 3⁸. Это правило путают с возведением степени в степень, где показатели действительно умножаются. Проверка простая: раскройте степени — в произведении будет шесть множителей 3, значит, ответ 3⁶.

При возведении степени в степень могут сложить показатели: например, (2³)² ошибочно заменить на 2⁵. Ошибка возникает из-за смешения двух похожих правил. Раскройте скобки: произведение из трёх двоек повторяется два раза, всего множителей шесть, поэтому результат равен 2⁶.

При делении степеней забывают вычесть показатели или вычитают их в обратном порядке. Например, 5⁶ : 5² = 5⁴, а не 5⁻⁴: делимое стоит первым, поэтому из его показателя вычитают показатель делителя. Проверить ответ помогает сокращение одинаковых множителей в записи произведения.

Нельзя возводить сумму в степень, возводя каждое слагаемое отдельно: (a + b)² не равно a² + b². Так ошибочно распространяют правило степени произведения на сумму, хотя сложение и умножение — разные действия. Подставьте числа: (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 13; результаты различаются.

Связь с другими темами

Для понимания степеней нужно уметь умножать и делить натуральные числа, а также распознавать произведение одинаковых множителей. Эти навыки помогают раскрывать степени и проверять правила на простых числах. Свойства степеней используют, чтобы упрощать алгебраические выражения и сокращать дроби. Позже знакомые правила будут расширены на степени с нулевым, целым и рациональным показателями.

Что запомнить

• Степень — краткая запись произведения одинаковых множителей.
• Основание показывает, какой множитель повторяется.
• Показатель показывает, сколько раз основание входит в произведение.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитают.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• Степень произведения равна произведению степеней его множителей.