"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Алгебраическое выражение — это запись, в которой числа соединены знаками действий, а вместо некоторых чисел стоят буквы. Такая запись помогает описывать ситуации с разными числами: например, находить периметр прямоугольника с любыми сторонами. Буквам можно задавать значения, а затем вычислять выражение. При этом нужно соблюдать порядок действий и проверять, что подстановка допустима: например, в знаменателе дроби не должно получиться ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическое выражение — запись из чисел, букв, знаков действий и скобок, например 3x + 5. В числовом выражении букв нет: например, 3 · 4 + 5 состоит только из чисел и действий. Буквы позволяют записать вычисление для разных чисел, а не только для одного заранее выбранного набора.
Переменная — буква, которой обозначают число, способное принимать разные значения. Например, в записи 2a число a может быть длиной стороны, а его значение можно менять. Переменные нужны, чтобы описывать общие зависимости и составлять формулы.
Значение алгебраического выражения — число, которое получают после подстановки заданных чисел вместо букв и выполнения действий. Если в выражении x + 7 взять x = 3, значение будет 10. Это понятие помогает перейти от общей буквенной записи к конкретному результату.
Допустимые значения переменных — такие значения, при которых выражение имеет смысл. Например, в дроби 5/(x − 2) нельзя взять x = 2, потому что знаменатель станет нулём. Проверка допустимости нужна до вычисления: делить на ноль нельзя.
Чтобы получить алгебраическое выражение из числового, заменяют некоторые числа буквами. Например, стоимость трёх одинаковых тетрадей по цене 40 рублей записывается как 3 · 40, а при неизвестной цене одной тетради — как 3x. Буквенная запись удобна, когда цена меняется: одно выражение описывает сразу множество возможных покупок.
Буква в выражении может обозначать любое число из допустимых значений, а не обязательно неизвестное, которое нужно отыскать. Например, в формуле периметра P = 2a + 2b можно подставить известные длины сторон и вычислить P. Неизвестное обычно ищут, когда задано уравнение; само выражение лишь показывает, какие действия выполнить.
Порядок действий сохраняется таким же, как в числовых выражениях: сначала считают в скобках, затем выполняют умножение и деление, после этого — сложение и вычитание. Так, в записи 2 + 3x сначала находят произведение 3x, потому что умножение выполняется раньше сложения. Этот порядок нужен, чтобы разные люди получали один и тот же результат.
При подстановке вместо каждой переменной записывают её заданное значение, а отрицательное число заключают в скобки. Если x = −2, то выражение 5 − x превращается в 5 − (−2), а не просто в 5 − −2 без ясной записи. Скобки сохраняют исходный смысл действия и помогают не потерять знак числа.
Перед вычислением дроби выясняют, при каких значениях переменной знаменатель равен нулю. Такие значения исключают, потому что деление на ноль не определено, а значит, выражение не имеет при них числового значения. Например, у дроби 1/(x + 4) знаменатель равен нулю при x = −4, поэтому это значение недопустимо.
| Элемент или действие | Что означает | Пример |
|---|---|---|
| Переменная | Буква, которой обозначают число | В 4x переменная — x |
| Числовой коэффициент при переменной | Число, на которое умножают переменную | В 4x коэффициент равен 4 |
| Подстановка значения переменной | Замена буквы заданным числом | При x = 3 запись 4x даёт 4 · 3 |
| Порядок выполнения действий | Сначала скобки, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание | В 2 + 5 · 3 сначала считают 5 · 3 |
| Недопустимое значение переменной | Значение, при котором выражение не имеет смысла | В 1/(x − 2) нельзя взять x = 2 |
Пользуйтесь таблицей как краткой проверкой: сначала найдите переменные и коэффициенты, затем подставьте значения. После этого выполните действия по порядку и убедитесь, что не возникло деления на ноль.
Задача 1. Запишите выражение для периметра прямоугольника со сторонами a и b. Периметр — это сумма длин всех сторон, а у прямоугольника две стороны длины a и две стороны длины b. Поэтому нужно учесть каждую из четырёх сторон, а не только сложить длины a и b один раз.
Ответ: 2a + 2b. Такую формулу можно применить к прямоугольнику с любыми допустимыми длинами сторон.
Задача 2. Найдите значение выражения 3x − 2y при x = 4 и y = −1. Сначала заменим каждую букву заданным числом, сохранив знаки действий. Отрицательное значение y поставим в скобки, чтобы было видно, что на −1 умножают 2.
Ответ: 14. Проверка скобок при подстановке помогает не перепутать вычитание с умножением на отрицательное число.
Задача 3. Найдите допустимые значения x для выражения (2x + 1)/(x − 3) и вычислите его при x = 1. Сначала проверим знаменатель, потому что числитель может быть любым, но знаменатель дроби не должен обращаться в ноль. Затем подставим значение, которое разрешено.
Ответ: x ≠ 3; при x = 1 значение выражения равно −3/2. Значение 1 допустимо, поскольку знаменатель при подстановке равен −2, а не нулю.
Считать любую букву неизвестным, которое обязательно надо найти, — ошибка: в выражении буква может обозначать любое допустимое число. Так часто происходит, потому что буквы встречаются и в уравнениях. Проверьте, есть ли знак равенства и задача найти число; если дано только выражение, подставляйте указанное значение или оставляйте букву.
Если при подстановке отрицательного числа убрать скобки, можно неверно понять знаки и изменить вычисление. Например, при x = −2 запись 3x нужно читать как 3 · (−2). Проверяйте себя: после замены буквы отрицательное число должно быть заключено в скобки.
Нельзя подставлять значение, при котором знаменатель становится нулём. Эту ошибку допускают, если начинают считать, не проверив область допустимых значений. Приравняйте знаменатель к нулю заранее и исключите найденное значение переменной.
Выполнение сложения раньше умножения без скобок нарушает установленный порядок действий. Например, в выражении 2 + 5 · 3 сначала считают произведение, а не складывают 2 и 5. Чтобы проверить себя, отмечайте скобки, умножение и деление до перехода к сложению и вычитанию.
Для работы с буквенными выражениями нужно уверенно выполнять арифметические действия с целыми числами, в том числе с отрицательными. Также важно соблюдать порядок действий и правильно работать со скобками. Если эти навыки пока вызывают трудности, при подстановке проверяйте каждый шаг отдельно.
Алгебраические выражения станут основой для упрощения записей, раскрытия скобок и решения уравнений. Буквы позволяют составлять формулы, которые описывают зависимости между величинами. Поэтому умение подставлять числа и проверять допустимость значений понадобится во многих следующих темах.
Чем алгебраическое выражение отличается от уравнения?
В выражении записаны числа, буквы и действия, но нет требования найти неизвестное. Уравнение содержит знак равенства и задаёт условие, которому должно удовлетворять неизвестное число.
Буква в выражении — это всегда неизвестное число?
Нет, буква может обозначать любое допустимое число, которое мы выбираем или подставляем. Неизвестное, которое нужно найти, обычно рассматривают при решении уравнения.
Как правильно подставить отрицательное число вместо переменной?
Запишите отрицательное число в скобках вместо буквы. Например, если x = −2, то в выражении 3x нужно записать 3 · (−2), а затем выполнить умножение.
Как определить, при каких значениях переменной выражение имеет смысл?
Проверьте, нет ли действий, которые невозможно выполнить, например деления на ноль. Для дроби приравняйте знаменатель к нулю и исключите найденные значения переменной.
Почему в выражении нельзя делить на ноль?
Деление на ноль не имеет значения: не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое. Поэтому переменная не может принимать значение, при котором знаменатель становится нулём.
1.1. Алгебраические выражения
