§ 1. Алгебраические выражения

Определения и обозначения

Алгебраическое выражение — это запись, составленная из чисел, переменных, знаков арифметических действий и извлечения корня. Например, 3x + 2, (a − 1)⁄b и √(y + 4) — алгебраические выражения. В отличие от числового выражения, такого как 8 − 3 · 2, оно может содержать переменные, поэтому его значение определяется после подстановки чисел.

Рациональное выражение — алгебраическое выражение, в котором переменные не находятся под знаком корня. Рациональные выражения делятся на целые и дробные: в первом случае переменная не входит в знаменатель, во втором — входит. Такое разделение помогает сразу заметить возможные ограничения на значения переменных.

Иррациональное выражение содержит переменную под знаком корня, например √(2x − 1). В действительных числах оно определено не при всех значениях переменной, потому что подкоренное выражение квадратного корня не может быть отрицательным. Поэтому при работе с ним сначала проверяют условие существования корня.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — это все значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Для её нахождения учитывают запрещённые действия: деление на ноль и извлечение квадратного корня из отрицательного числа. ОДЗ нужно знать до вычислений и сохранять при преобразовании выражения.

Как это устроено

Чтобы отличить рациональное выражение от иррационального, сначала ищут переменные под знаком корня. Наличие √(x + 1) или другого корня с переменной делает выражение иррациональным, даже если одновременно в нём есть дроби и обычные действия. Если под корнями стоят только числа, а переменные находятся вне них, выражение рациональное.

Рациональное выражение называют целым, когда переменная не входит в знаменатель дроби. Например, 4x² − 3x + 7 — целое выражение, хотя его можно представить как дробь со знаменателем 1. Если переменная находится в знаменателе, как в 5⁄(x − 2), выражение называют дробным, потому что именно знаменатель создаёт запрещённое значение.

ОДЗ находят по всем местам, где выражение может потерять смысл. Каждый знаменатель приравнивают к нулю и исключают найденные значения, поскольку деление на ноль невозможно. Для каждого квадратного корня записывают условие: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть не меньше нуля; затем объединяют все условия.

При преобразовании выражения нужно сохранять исходное ОДЗ, потому что некоторые действия могут замаскировать запрет. Например, в выражении (x² − 1)⁄(x − 1) можно сократить множитель и получить x + 1, но исходная запись всё равно не имеет смысла при x = 1. Поэтому ограничения проверяют по первоначальному выражению, а не только по результату.

Если вместо переменной подставить допустимое число, алгебраическое выражение превращается в числовое. После этого выполняют действия с учётом порядка вычислений и получают значение выражения. Подстановка недопустимого числа не является вычислением: например, при x = 3 выражение 1⁄(x − 3) не имеет значения, потому что знаменатель становится нулём.

Виды алгебраических выражений и их ограничения

Сначала определите вид выражения по его записи, а затем посмотрите на соответствующее ограничение. Если в выражении одновременно есть знаменатель и корень, учитывайте оба условия. Таблица помогает быстро проверить классификацию, но ОДЗ всегда нужно составлять по конкретной записи.

Разбор задач

Задача 1. Определение вида выражений

Определите, какие из выражений 3a − 5, 2⁄x и √(x + 1) являются рациональными, а какие — иррациональными; назовите целые и дробные. Классифицируем записи по наличию переменной под корнем и в знаменателе. Это позволяет не смешивать два разных признака.

1. В выражении 3a − 5 переменная не находится под корнем и не входит в знаменатель. Значит, оно рациональное целое.
2. В выражении 2⁄x переменной под корнем нет, поэтому оно рациональное. Переменная стоит в знаменателе, следовательно, выражение дробное.
3. В выражении √(x + 1) переменная находится под знаком корня. Значит, выражение иррациональное.

Ответ: 3a − 5 — целое рациональное; 2⁄x — дробное рациональное; √(x + 1) — иррациональное.

Задача 2. ОДЗ дробного выражения

Найдите ОДЗ выражения (x + 2)⁄(x − 3). Основное ограничение связано со знаменателем, потому что на ноль делить нельзя.

1. Приравняем знаменатель к нулю: x − 3 = 0.
2. Получаем запрещённое значение x = 3.
3. Все остальные действительные значения допустимы.

Ответ: x ∈ R, x ≠ 3, или x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞).

Задача 3. ОДЗ с корнем и знаменателем

Найдите ОДЗ выражения √(2x − 1)⁄(x − 2). Здесь нужно одновременно проверить корень и знаменатель, потому что каждый из них может создать ограничение.

1. Для корня требуем 2x − 1 ≥ 0, откуда x ≥ ½.
2. Для знаменателя требуем x − 2 ≠ 0, откуда x ≠ 2.
3. Объединяем условия: x должен быть не меньше ½, но не равен 2.

Ответ: x ∈ [½; 2) ∪ (2; +∞).

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что дробное выражение не имеет смысла при любом значении переменной. Ограничение появляется только при нулевом знаменателе, а не при любом числе в знаменателе. Проверьте себя: решите уравнение для знаменателя и исключите только его корни.

Ошибка: не исключать ноль знаменателя, если числитель тоже равен нулю. Выражение 0⁄0 не имеет значения, поскольку деление на ноль запрещено, даже если числитель обращается в ноль. Всегда находите ОДЗ по знаменателю до сокращения дроби.

Ошибка: разрешать отрицательное подкоренное выражение в квадратном корне. В действительных числах √A существует только при A ≥ 0, поэтому знак условия нельзя заменять на A > 0. Для проверки подставьте граничное значение и убедитесь, что корень равен нулю.

Ошибка: расширять ОДЗ после преобразования выражения. Сокращение или возведение в квадрат может скрыть исходный запрет, но не делает запрещённое значение допустимым. Сравните ОДЗ исходной и преобразованной записей и сохраните все исходные ограничения.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны навыки действий с обыкновенными дробями, степенями и квадратными корнями. Без них трудно выполнять преобразования и правильно вычислять значения выражений.

ОДЗ понадобится при преобразовании выражений, решении уравнений и исследовании функций. Оно помогает отличать допустимые рассуждения от действий, которые могут привести к потере или появлению лишних значений.

Различение рациональных и иррациональных выражений станет основой для изучения рациональных и иррациональных уравнений. В таких задачах ОДЗ часто определяет, какие корни можно принять в качестве ответа.

Что запомнить

• Алгебраическое выражение содержит числа, переменные и знаки действий.
• Рациональное выражение не содержит переменных под знаком корня.
• Рациональное выражение бывает целым или дробным.
• Иррациональное выражение содержит переменную под знаком корня.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
• ОДЗ учитывают при вычислениях и любых преобразованиях выражения.