"Алгебра", Алимов Ш.А.
Алгебраическое выражение — запись вычислений с числами, буквами, знаками действий и скобками. Буквы обозначают числа, поэтому значение такого выражения меняется в зависимости от того, какие числа вместо них подставлены. Это позволяет описывать вычисления сразу для разных случаев, а не составлять отдельную запись для каждого числа. Чтобы найти значение выражения, нужно правильно подставить числа и выполнить действия по порядку.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическое выражение — запись, составленная из чисел, букв, знаков действий и скобок. Например, 2a + 5 включает число 2, букву a, сложение и число 5. Такая запись помогает описывать вычисления, которые можно выполнить для разных чисел.
Буквенное выражение — алгебраическое выражение, в котором есть одна или несколько букв, например 3x − 1. Его значение зависит от того, какие числа обозначают буквы. Поэтому одной записью можно описать целую группу вычислений, а не только один пример.
Переменная — буква, которой обозначают число. В выражении буква может принимать разные значения, если для неё не задано конкретное число. Например, x в записи x + 4 может обозначать 2, 10 или другое число, и результат будет меняться вместе с ним.
Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех предусмотренных действий. Если выражение буквенное, сначала вместо букв подставляют заданные числа, а затем вычисляют. Это понятие нужно, чтобы понимать, какой результат соответствует выбранным значениям переменных.
Буквенное выражение можно составить по словесному описанию вычислений. Например, «число x увеличить на 6» записывают как x + 6, а «взять число y в три раза больше» — как 3y. Такие записи удобны тем, что сразу подходят для разных исходных чисел: достаточно изменить значение буквы, а само правило остаётся тем же. Если же каждый раз писать отдельный пример с конкретным числом, общее правило заметить труднее.
Произведение числа и буквы обычно записывают без знака умножения: 4 · x превращается в 4x. Так же записывают произведение двух букв: a · b = ab. Если множителей несколько, их можно поставить рядом: 2 · a · b = 2ab. Такое сокращение не означает сложение: запись 3a читают как «три умножить на a», поэтому при a = 5 получаем 15.
Если в выражении есть скобки, действия внутри них выполняют прежде остальных. Затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Например, в записи 8 + 2 · 3 сначала находят произведение 2 · 3, поскольку умножение имеет приоритет перед сложением. При действиях одной ступени, например только сложении и вычитании, считают слева направо.
Чтобы найти значение буквенного выражения, вместо каждой буквы подставляют указанное число и затем вычисляют получившееся числовое выражение. Например, если a = 2, то в выражении 5a + 1 вместо a записывают 2: получается 5 · 2 + 1. После этого применяют обычный порядок действий. Подстановка важна потому, что до задания чисел выражение задаёт правило, но не всегда одно конкретное значение.
Отрицательное число при подстановке удобно заключать в скобки. Например, при x = −3 выражение x² нужно прочитать как (−3)², то есть умножить −3 на −3 и получить 9. Без скобок запись −3² обычно означает противоположное числу 3², то есть −9. Скобки помогают однозначно показать, что заменяется переменная целиком, а не только её положительная часть.
| Признак | Числовое выражение | Буквенное выражение |
|---|---|---|
| Из чего состоит | Из чисел, знаков действий и скобок | Из чисел, букв, знаков действий и скобок |
| Пример | 18 − 2 · 5 | 4a + 7 |
| Как найти значение | Выполнить действия по порядку | Подставить числа вместо букв и выполнить действия |
| Зависимость значения от заданных чисел | Зависит от записи и порядка действий | Зависит также от чисел, подставленных вместо букв |
Сравнивайте выражения по строкам: так видно, что буквенное выражение содержит переменные и обычно требует подстановки. Для числового выражения подставлять нечего — достаточно выполнить действия. Таблица помогает выбрать подходящий способ вычисления.
Задача 1. Вычислите значение выражения 18 − 2 · 5. В записи есть вычитание и умножение, поэтому сначала определяем действие с более высоким приоритетом. Если начать с вычитания, получится неверный результат: порядок действий здесь нельзя выбирать произвольно.
Задача 2. Найдите значение выражения 4a + 7 при a = 3. Буква a обозначает число 3, поэтому в выражении заменяем только эту букву. Получается числовая запись, в которой сначала нужно выполнить умножение, а потом сложение.
Задача 3. Найдите значение выражения 2x − 3y при x = −2 и y = 4. Здесь нужно подставить сразу два значения: отрицательное вместо x и положительное вместо y. Отрицательное число заключаем в скобки, чтобы было видно, что оно заменяет переменную целиком, а затем выполняем умножение до вычитания.
Во всех трёх задачах сначала определяли, какие действия записаны и есть ли заданные значения букв. Затем соблюдали порядок действий и только после этого записывали ответ. Такой порядок помогает не потерять знак числа и не перепутать умножение со сложением.
Ошибка — выполнять действия просто слева направо, не учитывая их порядок. Так можно сначала вычесть в выражении 18 − 2 · 5 и получить неверный результат. Обычно это происходит, когда ученик переносит порядок чтения на порядок вычислений. Проверяйте себя: сначала отметьте скобки, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.
Запись 3a иногда принимают за сумму 3 и a, хотя она означает произведение 3 · a. Причина ошибки — знак умножения здесь не написан. Чтобы проверить себя, прочитайте запись словами: «три умножить на a»; например, при a = 2 значение 3a равно 6.
Если подставить отрицательное число без скобок, можно ошибочно отнести его знак к соседнему действию. Например, при x = −2 запись 2x удобнее сразу заменить на 2 · (−2). Скобки показывают, что минус принадлежит подставленному числу; проверяйте, что заменили букву полностью.
Буквенное выражение не всегда имеет одно неизменное значение. Ошибка возникает, если забыть, что буква может обозначать разные числа: при a = 1 выражение 4a + 7 равно 11, а при a = 3 — 19. Чтобы проверить вычисление, сверьте значения букв с условием и убедитесь, что подставили каждое из них.
Для работы с алгебраическими выражениями нужны навыки действий с натуральными, целыми и дробными числами. Также важно знать порядок выполнения действий, иначе даже верно составленная запись даст ошибочный результат. Буквенные выражения становятся основой для формул: формула кратко связывает несколько величин и позволяет вычислять одну из них. Позже те же выражения используют в уравнениях и при тождественных преобразованиях, когда запись изменяют, сохраняя её значение.
Что называют алгебраическим выражением?
Это запись, составленная из чисел, букв, знаков действий и скобок. Буквы в ней обозначают числа, а значение выражения может зависеть от того, какие числа им соответствуют.
Почему в записи 4x не ставят знак умножения?
По принятому правилу произведение числа и буквы записывают без знака умножения. Поэтому 4x означает 4 · x, а не сложение числа 4 с x.
Как найти значение буквенного выражения?
Нужно заменить каждую букву заданным числом, а затем выполнить действия по порядку. Если подставляется отрицательное число, его удобно заключить в скобки.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках. Затем — умножение и деление, после них — сложение и вычитание; действия одной ступени выполняют слева направо.
Зачем при подстановке отрицательное число заключать в скобки?
Скобки показывают, что отрицательное число подставлено целиком, и помогают не спутать его знак со знаком действия. Например, при x = −2 запись 2x удобнее прочитать как 2 · (−2).
§ 2. Алгебраические выражения
