"Алгебра", Алимов Ш.А.
Числовое выражение — это запись из чисел и знаков арифметических действий, например 18 − 6 + 2. Чтобы получить его значение, нужно выполнить все действия в правильном порядке. Сначала считают в скобках, затем умножают и делят, а после этого складывают и вычитают. Действия одного уровня выполняют слева направо. Эти правила помогают получать верный результат и пригодятся при работе с формулами, буквенными выражениями и уравнениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленная по правилам математики. Например, 8 + 4 · 2 — числовое выражение. Это понятие помогает отличать запись, которую можно вычислять, от отдельных чисел и знаков.
Значение числового выражения — число, полученное после выполнения всех действий, указанных в выражении. Например, значение выражения 8 + 4 · 2 равно 16, потому что сначала выполняют умножение. Поиск значения нужен, чтобы получить конкретный результат вычисления.
Порядок действий — правила, по которым определяют, в какой последовательности выполнять действия в выражении. Например, в записи 8 + 4 · 2 сначала умножают, а потом складывают. Эти правила позволяют всем вычислять выражение одинаково и не получать разные ответы.
Выражение имеет смысл, если все указанные в нём действия можно выполнить; например, деление на ноль не определено. Так, запись 6 : 0 не имеет значения. Проверка смысла нужна до вычисления, чтобы не считать недопустимое действие обычным примером.
Числовое выражение составляют из чисел и знаков действий, а скобки выделяют часть записи. Скобки нужны, когда требуется сначала рассмотреть именно эту часть, не смешивая её с остальными действиями. Например, в выражении 3 · (4 + 2) сначала находят сумму 4 + 2, а уже потом умножают на 3. Без скобок запись 3 · 4 + 2 означала бы другое действие: умножение выполнили бы раньше сложения.
Если скобок нет, умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Это правило нужно, чтобы выражения с разными действиями имели однозначный результат, а не зависели от того, как читатель решил считать. Например, в 5 + 2 · 6 сначала находят произведение 2 · 6, затем прибавляют 5. Если сначала сложить 5 и 2, получится другой ответ, поэтому нельзя выполнять действия только в порядке их появления.
Умножение и деление относятся к одной ступени, как и сложение с вычитанием. Действия одной ступени выполняют слева направо, потому что ни у одного из них нет преимущества перед другим. Например, в записи 24 : 3 · 2 сначала выполняют деление, стоящее левее, и только затем умножение. Нельзя считать, что умножение всегда важнее деления или что деление всегда нужно выполнить первым.
Если в выражении есть скобки, сначала вычисляют то, что находится внутри них, а затем переходят к остальной записи. Внутри скобок также сначала выполняют умножение и деление, потом сложение и вычитание; если действий одной ступени несколько, идут слева направо. Скобки могут быть вложенными: тогда начинают с самой внутренней пары. Такой порядок сохраняет смысл выражения, заданный скобками.
Перед вычислением полезно проверить, правильно ли составлена запись и можно ли выполнить каждое действие. Особенно важно заметить деление, у которого делитель равен нулю: такое действие не определено. Например, в выражении 10 : (4 − 4) знаменатель после вычисления скобок становится нулём, значит, выражение не имеет значения. Проверка помогает остановиться до получения ошибочного ответа.
| Ситуация | Что выполнять сначала | Порядок внутри одной ступени |
|---|---|---|
| Есть скобки | Действия в скобках | Внутри скобок — по обычным правилам |
| Умножение и деление | Умножение и деление раньше сложения и вычитания | Слева направо |
| Сложение и вычитание | После умножения и деления | Слева направо |
| Действия одинаковой ступени | Начать с самого левого действия | Слева направо |
Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала найди скобки и вычисли их, затем выполни умножение и деление, после этого — сложение и вычитание. В каждой группе одинаковой ступени двигайся слева направо. Если скобок несколько, начинай с внутренних.
Найти значение выражения 18 − 6 + 2. Здесь есть только вычитание и сложение, а они относятся к одной ступени. Поэтому нельзя сначала выполнить любое удобное действие: нужно идти по записи слева направо.
Ответ: 14. Проверка порядка показывает, что вычитание было выполнено раньше сложения только потому, что оно стояло левее.
Найти значение выражения 24 : 3 · 2 + 5. Сначала замечаем деление и умножение: они важнее сложения, но между собой равны по ступени. Значит, начинаем с самого левого действия этой группы, а прибавление выполняем в конце.
Ответ: 21. Обрати внимание: умножение не опередило деление, потому что оно не имеет более высокой ступени.
Найти значение выражения 48 : (5 + 3) + 2 · (7 − 4). Скобки задают первые действия, поэтому сначала находим сумму и разность внутри них. После этого в оставшейся записи деление и умножение выполняются раньше сложения.
Ответ: 12. Такой разбор помогает не пропустить ни скобки, ни действия более высокой ступени.
Ошибка — складывать или вычитать раньше умножения и деления, читая выражение просто слева направо. Так делают, потому что привычно выполнять действия в порядке записи, но у действий разные ступени. Проверь себя: найди все умножения и деления и выполни их до сложения и вычитания, если скобки не задают другой первый шаг.
Иногда считают, что умножение всегда выполняют раньше деления или наоборот. Это неверно: действия одной ступени выполняют по порядку слева направо, поэтому в выражении 24 : 3 · 2 сначала делят. Чтобы проверить себя, подчеркни умножения и деления и начни с самого левого; так же поступай со сложением и вычитанием.
Ещё одна ошибка — не начинать со скобок и выполнять сначала действие, которое кажется более простым. Скобки выделяют часть выражения, которую нужно вычислить первой, поэтому их нельзя пропускать. Перед счётом обведи скобки и проверь, что сначала нашёл их значения; при вложенных скобках начинай с внутренних.
Нельзя выполнять деление на ноль и записывать результат как обычное число. Ошибку допускают, если не проверяют, чему равен делитель, особенно когда он записан в скобках. Сначала вычисли делитель и убедись, что он не равен нулю; если равен, выражение не имеет значения.
Для вычисления числовых выражений нужны знания о натуральных, целых и дробных числах, а также понимание сложения, вычитания, умножения и деления. Эти действия уже знакомы, а правила порядка помогают правильно сочетать их в одной записи. Дальше тот же способ рассуждения используют в буквенных выражениях, где вместо чисел могут стоять буквы, при преобразовании формул и решении уравнений. Поэтому аккуратное вычисление выражений становится основой для следующих тем алгебры.
Что называют числовым выражением?
Это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок по правилам математики. Например, 7 + 3 · 2 — числовое выражение.
Что значит найти значение выражения?
Найти значение — значит выполнить все указанные действия и получить число. Например, значение выражения 7 + 3 · 2 равно 13.
Какой порядок действий, если скобок нет?
Сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Если действия одной ступени стоят рядом, их выполняют слева направо.
Что выполнять раньше: умножение или деление?
У умножения и деления одинаковый приоритет, то есть ни одно из них не выполняют автоматически раньше другого. Нужно двигаться слева направо.
Почему выражение с делением на ноль не имеет значения?
Деление на ноль не определено: не существует числа, которое при умножении на ноль даст делимое, если оно отлично от нуля. Поэтому вычислить такое выражение нельзя.
§ 1. Числовые выражения
