3. Числовые выражения

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись из чисел и знаков арифметических действий, составленная по правилам математики; в неё могут входить и скобки. Например, 12 − (3 + 2) — числовое выражение, а скобки показывают, какое действие выполнить сначала. Такие записи позволяют коротко описывать вычисления, состоящие из нескольких действий.

Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Например, значение выражения 12 − (3 + 2) равно 7. Найти значение — значит вычислить выражение, соблюдая порядок действий и не пропуская промежуточные результаты.

Числовое равенство — запись двух числовых выражений, соединённых знаком =. Оно верно, когда значения выражений слева и справа одинаковы: например, 4 + 3 = 2 · 3 + 1. Равенство нужно, чтобы показать, что две записи дают одно и то же число.

Числовое неравенство — запись двух числовых выражений, соединённых знаком сравнения, например > или <. Оно истинно, если после вычисления левая и правая части действительно находятся в указанном отношении. Так можно записать, какое из двух чисел больше или меньше.

Как это устроено

Чтобы определить, является ли запись числовым выражением, проверь, есть ли в ней числа и арифметические действия, записанные по правилам. Например, 8 · (5 − 2) — выражение: числа соединены действиями, а скобки задают порядок вычислений. Отдельное число, например 8, тоже можно рассматривать как простое числовое выражение без знака действия. Это удобно: число можно включать в более сложную запись, не меняя смысла вычислений.

Порядок действий нужен, чтобы одну и ту же запись все понимали одинаково. Сначала выполняют действия в скобках, потому что они выделяют часть выражения, которую нужно рассмотреть отдельно. Затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание: такой порядок является общим соглашением для арифметических записей. Если действий одной ступени несколько, их выполняют слева направо.

Сложное выражение вычисляют постепенно: после каждого действия получают промежуточный результат и используют его в следующем действии. Например, при вычислении 20 − 8 : 4 сначала находят частное 8 : 4 = 2, а затем вычитают его из 20. Промежуточные результаты помогают видеть, какая часть выражения уже вычислена, и не смешивать действия разных ступеней. В итоге все действия сводятся к одному числу — значению выражения.

Деление на нуль не определено: не существует числа, которое при умножении на нуль дало бы делимое, отличное от нуля. Поэтому выражение с делением на нуль не имеет значения, а не становится равным нулю. Перед делением полезно вычислить делитель, особенно если он записан в скобках. Если он оказался равен нулю, дальнейшее вычисление выполнить нельзя.

Равенство или неравенство нельзя проверять только по тому, как выглядит запись. Сначала вычисляют выражение слева и выражение справа, соблюдая порядок действий, а затем сравнивают полученные числа. Для равенства они должны совпасть, а для неравенства — соответствовать знаку сравнения. Такой способ проверки подходит и для длинных записей, если считать каждую часть отдельно.

Числовые выражения и записи с ними

Сначала определи, что именно записано: отдельное выражение или две части со знаком равенства либо сравнения. Для выражения нужно найти значение, а для равенства и неравенства — сравнить значения частей. Примеры показывают, что одна и та же проверка начинается с вычислений.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 18 − 7 + 3. Здесь есть только вычитание и сложение, а это действия одной ступени. Поэтому выполняем их по порядку слева направо, не переставляя слагаемые и вычитаемое.

1. Сначала вычисляем 18 − 7 = 11.
2. К промежуточному результату прибавляем 3: 11 + 3 = 14.

Ответ: 14. Промежуточное число 11 становится первым числом во втором действии. Если бы мы сначала сложили 7 и 3, то изменили бы заданный порядок действий.

Задача 2. Вычислите 24 : (2 + 4) + 3 · 5. Скобки требуют сначала найти сумму внутри них. После этого в выражении остаются деление, умножение и сложение, поэтому сложение выполняется последним.

1. Вычисляем в скобках: 2 + 4 = 6. Получаем 24 : 6 + 3 · 5.
2. Выполняем деление и умножение: 24 : 6 = 4, 3 · 5 = 15.
3. Складываем результаты: 4 + 15 = 19.

Ответ: 19. Деление и умножение здесь не конкурируют со сложением: обе операции выполняются раньше него. Скобки влияют на то, каким будет делитель в первом действии.

Задача 3. Проверьте, верно ли равенство 36 : (5 − 2) = 2 · 6, и имеет ли значение выражение 10 : (4 − 4). Для равенства нужно вычислить обе части отдельно и сравнить результаты. Во втором выражении прежде всего проверяем, чему равен делитель.

1. В левой части равенства: 5 − 2 = 3, затем 36 : 3 = 12.
2. В правой части: 2 · 6 = 12. Значения частей совпали, значит, равенство верно.
3. Во втором выражении 4 − 4 = 0, поэтому оно превращается в 10 : 0.

Ответ: равенство верно; выражение 10 : (4 − 4) не имеет значения. Здесь важно не пытаться выполнить последнее деление и не записывать результат 0. Деление на нуль не определено.

Типичные ошибки

• Если выполнять все действия только слева направо, можно не заметить скобки или умножение, которое нужно сделать раньше сложения. Так получают другое значение выражения, потому что меняют установленный порядок. Ошибка часто возникает из-за привычки считать запись просто цепочкой действий. Проверь себя: сначала отметь скобки, затем действия каждой ступени.

• Иногда считают, что умножение всегда раньше деления или сложение всегда раньше вычитания. Это неверно: действия одной ступени равноправны и идут слева направо. Путаница появляется, когда запоминают названия действий, но забывают общее правило. Чтобы проверить решение, сравнивай расположение таких действий в записи.

• Делить на нуль нельзя, даже если нуль получился после вычисления скобок. Ошибка — записать результат деления как нуль или продолжить счёт, будто делитель ненулевой. Так поступают, когда не проверяют делитель перед делением. Вычисли его отдельно: если он равен нулю, выражение значения не имеет.

• Нельзя объявлять равенство верным только потому, что числа и знаки выглядят похоже. Равенство истинно лишь тогда, когда значения обеих частей совпадают. Внешний вид записи может отвлечь от арифметической ошибки или разных результатов. Вычисли левую и правую части по отдельности и только затем сравни их.

Связь с другими темами

Для вычисления числовых выражений нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить натуральные числа, а также понимать, как скобки влияют на порядок действий. Эти знания позволяют разобраться с вычислениями без пропусков и проверять каждый промежуточный результат. Если основные действия пока вызывают затруднения, полезно сначала повторить их отдельно.

Навык вычислений пригодится дальше, когда в выражениях появятся переменные — буквы, обозначающие числа. По тем же правилам порядка действий работают с формулами и преобразуют выражения. Умение находить значение и сравнивать части записи станет основой для этих тем.

Что запомнить

• Числовое выражение составлено из чисел и знаков арифметических действий.
• Значение выражения — результат его вычисления.
• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.
• На нуль делить нельзя.
• Истинность равенства или неравенства определяют сравнением значений его частей.