§ 2. Числовые выражения и выражения с переменными

Определения и обозначения

Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Например, 48 : (6 + 2) − 3 является числовым выражением. Его можно вычислить, потому что все числа уже известны.

Значение выражения — число, полученное после выполнения всех действий в выражении. Для записи 7 + 3 · 2 значением будет 13, а не 20, поскольку сначала выполняют умножение. Это понятие нужно, чтобы отличать саму запись от результата вычислений.

Выражение с переменными — запись, содержащая числа, переменные, знаки действий и скобки. Переменная — буква, которая может обозначать разные числа, например a в записи 3a² − 2a + 5. Чтобы найти значение такого выражения, нужно знать, какое число выбрано вместо переменной.

Допустимое значение переменной — такое значение, при котором выражение имеет смысл. Например, для выражения 1 : (x − 4) число 4 недопустимо, потому что знаменатель станет нулём. Остальные значения x допустимы, если в выражении нет других ограничений.

Как это устроено

Порядок действий определяет, какое вычисление выполнять первым, поэтому одна и та же последовательность чисел может дать разные результаты при разных скобках. Сначала выполняют действия в скобках, затем степени, после этого умножение и деление, а в конце сложение и вычитание. Действия одного порядка выполняют слева направо, потому что такой порядок однозначно задаёт значение выражения.

Скобки изменяют способ вычисления: в записи 18 : (3 + 3) сначала получают 6, а затем делят 18 на 6. Без скобок выражение 18 : 3 + 3 означало бы сначала деление, а потом сложение. Поэтому перед вычислением полезно отметить скобки и определить порядок всех действий.

Значение выражения с переменной зависит от выбранного числа, потому что переменная участвует в действиях как обычное число. Например, 2x + 1 при x = 3 равно 7, а при x = 5 равно 11. Одна запись может описывать целый ряд числовых значений.

Чтобы найти значение выражения с переменной, переменную заменяют указанным числом, причём заменяют каждое её вхождение. Отрицательное число обычно записывают в скобках, чтобы оно целиком стало подставленным значением: при a = −2 выражение 3a² превращается в 3(−2)². Затем вычисляют получившееся числовое выражение по обычному порядку действий.

Некоторые значения переменной делают выражение бессмысленным, потому что приводят к недопустимому действию. Самый частый случай — нулевой знаменатель: деление на ноль не определено. Поэтому сначала проверяют ограничения, а уже потом подставляют число и считают.

Два разных выражения могут иметь одно и то же значение при определённых значениях переменных. Например, при x = 2 выражения x + 3 и 2x + 1 оба равны 5, хотя их записи различаются. Совпадение результата для одного значения не означает, что выражения всегда равны.

Сравнение числовых выражений и выражений с переменными

Таблица помогает быстро определить, известны ли все числа в записи и нужно ли выполнять подстановку. При решении задачи сначала найдите ограничения, затем установите порядок действий. Для выражения с переменной отдельно указывайте выбранное значение переменной.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить значение числового выражения 48 : (6 + 2) − 3.

Скобки стоят внутри деления, поэтому результат в скобках нужно найти раньше. После этого выполняется деление, а затем вычитание. Такой порядок не позволяет случайно вычесть 3 раньше времени.

1. Вычислим сумму в скобках: 6 + 2 = 8.
2. Выполним деление: 48 : 8 = 6.
3. Вычтем 3: 6 − 3 = 3.

Ответ: 3.

Задача 2. Найти значение выражения 3a² − 2a + 5 при a = −2.

Переменная встречается дважды, поэтому значение −2 нужно подставить в оба места. Скобки вокруг отрицательного числа особенно важны в степени: (−2)² = 4. После подстановки действуем сначала со степенью, затем выполняем умножение и сложение с учётом знаков.

1. Подставим значение: 3(−2)² − 2(−2) + 5.
2. Вычислим степень и произведения: 3 · 4 + 4 + 5.
3. Сложим: 12 + 4 + 5 = 21.

Ответ: 21.

Задача 3. Найти допустимые значения переменной и значение выражения (x + 4) : (x − 2) при x = 5.

Ограничение появляется из-за знаменателя x − 2: он не должен быть равен нулю. Сначала найдём запрещённое значение, а затем проверим, подходит ли число 5. Только после этой проверки можно вычислять дробь.

1. Приравняем знаменатель к нулю: x − 2 = 0, значит, x = 2 — недопустимое значение.
2. Число 5 не равно 2, поэтому оно допустимо.
3. Подставим x = 5: (5 + 4) : (5 − 2) = 9 : 3 = 3.

Ответ: x ≠ 2; при x = 5 значение выражения равно 3.

Типичные ошибки

При подстановке отрицательного числа без скобок можно неверно понять степень: −2² равно −4, а (−2)² равно 4. Ошибка возникает из-за смешения знака минус и самого числа. Проверьте себя: если отрицательное число заменяет переменную целиком, поставьте его в скобки.

Нарушение порядка действий меняет результат: сложение нельзя выполнять раньше умножения или деления без скобок. Так, 5 + 2 · 3 равно 11, а не 21. Перед вычислением подчеркните скобки и мысленно расставьте этапы.

Значение переменной, при котором знаменатель равен нулю, иногда ошибочно считают допустимым. Такое происходит, если сразу подставляют число и не проверяют делитель. При наличии дроби сначала решите условие «знаменатель = 0» и исключите найденные значения.

При подстановке иногда заменяют только одно вхождение переменной или теряют знак перед слагаемым. Причина — невнимательное переписывание выражения. Сначала заключите каждую подстановку в скобки, а затем сравните новую запись с исходной.

Связь с другими темами

До этой темы нужны таблица умножения, действия с рациональными числами, порядок арифметических действий и правила работы со скобками. Эти навыки позволяют сосредоточиться на записи выражения, а не заново вспоминать вычисления.

Дальше знания понадобятся при преобразовании алгебраических выражений, раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. Те же правила используются при составлении формул, решении уравнений и вычислении значений функций.

Что запомнить

• Числовое выражение состоит только из чисел и знаков действий.
• Значение числового выражения находят, выполняя действия в установленном порядке.
• Выражение с переменными приобретает конкретное значение после подстановки значений переменных.
• При подстановке отрицательное число обычно заключают в скобки.
• Делить на ноль нельзя.
• Допустимыми называют значения переменных, при которых выражение имеет смысл.