7*. Степени с натуральными показателями и их свойства

Определения и обозначения

Степень с натуральным показателем — произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a. Число n показывает, сколько раз основание участвует в умножении. Такая запись заменяет длинное повторное умножение и делает формулы короче.

Основание степени — число или выражение, которое повторяется множителем. В записи aⁿ основанием является a, а в (x + 1)³ — выражение x + 1. Знание основания нужно, чтобы правильно применять свойства степеней.

Показатель степени — натуральное число, показывающее количество одинаковых множителей. В записи 5⁴ показатель равен 4, поэтому число 5 берут множителем четыре раза. Именно показатель определяет длину произведения и участвует в правилах преобразования.

Значение степени — результат умножения основания самого на себя указанное число раз. Например, значением степени 2³ является 8, потому что 2 · 2 · 2 = 8. Не следует путать показатель 3 с самим результатом 8.

Как это устроено

Запись степени возникает из повторного умножения: a · a · a · a можно заменить на a⁴. Число одинаковых множителей пересчитывают и ставят в качестве показателя. Основание записывают один раз, потому что остальные множители полностью ему равны.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями множители соединяются в одну цепочку: aᵐ · aⁿ содержит сначала m множителей a, затем ещё n таких множителей. Всего получается m + n множителей, поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Основание при этом не складывается и не умножается само по себе.

При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются попарно. Если m ≥ n, после сокращения остаётся m − n множителей, поэтому aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Условие a ≠ 0 необходимо, потому что знаменатель aⁿ не может быть нулём.

В произведении (ab)ⁿ множитель ab повторяется n раз, и каждый множитель a можно собрать отдельно от каждого множителя b. Так получается (ab)ⁿ = aⁿbⁿ; аналогично при ненулевом b: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ. В выражении (aᵐ)ⁿ группа из m множителей повторяется n раз, поэтому всего будет mn множителей a. Знак результата зависит от основания и чётности показателя: чётное число отрицательных множителей даёт плюс, нечётное — минус.

Степени с натуральными показателями: основные свойства

Сначала определите, какое действие выполняется и совпадают ли основания. Затем выберите строку таблицы и проверьте условия, особенно ненулевой знаменатель. Если выражение содержит несколько действий, применяйте свойства последовательно, не меняя порядок вычислений.

Формулы для произведения и частного не распространяются на сумму: обычно (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ. Для проверки можно раскрыть небольшую степень непосредственно, например (a + b)² = a² + 2ab + b².

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2⁴ · 2³ и сравните результат с 2⁷.

Здесь основания одинаковы, поэтому сначала применим правило сложения показателей, а затем выполним непосредственную проверку.

1. 2⁴ · 2³ = 2⁴⁺³ = 2⁷.
2. Непосредственно: 2⁴ = 16, 2³ = 8, значит 16 · 8 = 128.
3. 2⁷ = 128, поэтому оба способа дают один результат.

Ответ: 2⁴ · 2³ = 2⁷ = 128.

Задача 2. Упростите ((3a²)² · a³) : a⁴ при a ≠ 0.

Внутри выражения есть степень произведения, затем степень степени, умножение и деление степеней. Условие a ≠ 0 позволяет делить на a⁴.

1. (3a²)² = 3² · (a²)² = 9a⁴.
2. 9a⁴ · a³ = 9a⁴⁺³ = 9a⁷.
3. 9a⁷ : a⁴ = 9a⁷⁻⁴ = 9a³.

Ответ: 9a³.

Задача 3. Проверьте равенство (2x³y²)² : (4xy)² = x⁴y² при x ≠ 0 и y ≠ 0.

Проверка показывает, что указанное в условии равенство неверно: слева появляется дополнительный множитель ¼. Поэтому доказывать его как записано нельзя.

1. (2x³y²)² = 4x⁶y⁴, а (4xy)² = 16x²y².
2. 4x⁶y⁴ : 16x²y² = ¼ · x⁶⁻² · y⁴⁻².
3. После упрощения получаем ¼x⁴y², а не x⁴y².

Ответ: равенство неверно; правильный результат — ¼x⁴y². Равенство стало бы верным, если бы в знаменателе было (2xy)².

Типичные ошибки

Ошибка: при умножении степеней складывают основания и пишут (a + a)ᵐ⁺ⁿ. Так происходит из-за смешения действий с числами и свойств степеней. Проверьте себя раскрытием двух небольших степеней: множители должны объединиться, а не превратиться в сумму.

Ошибка: записывают (a + b)ⁿ = aⁿ + bⁿ. Свойство степени произведения нельзя переносить на сумму, поскольку при раскрытии суммы появляются дополнительные слагаемые. Для проверки раскройте квадрат: (a + b)² содержит 2ab.

Ошибка: вычитают показатели при делении, не проверив основание и знаменатель. Формула требует одинакового основания и a ≠ 0, иначе деление может быть запрещено. Перед преобразованием найдите делитель и убедитесь, что он не равен нулю.

Ошибка: путают (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ с aᵐ⁺ⁿ. В первом случае степень повторяется множителями, поэтому показатели перемножаются; во втором показатели складываются при умножении степеней. Определите действие между степенями: скобки с внешним показателем означают возведение в степень.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны навыки умножения, деления и повторного умножения чисел и одночленов. Без них трудно увидеть, почему показатель отражает число множителей.

Свойства степеней применяются при преобразовании алгебраических выражений, действиях с одночленами и многочленами. Они позволяют сокращать записи и приводить выражения к удобному виду.

Эти правила становятся основой для степеней с целыми и рациональными показателями, записи чисел в стандартном виде и изучения показательных функций.

Что запомнить

• Степень с натуральным показателем — произведение одинаковых множителей.
• При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
• При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются; делитель не должен быть равен нулю.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются.
• Степень произведения равна произведению соответствующих степеней.
• Степень частного равна частному соответствующих степеней при ненулевом знаменателе.
• Степень отрицательного числа положительна при чётном показателе и отрицательна при нечётном.