§ 2. Координаты на прямой и на плоскости

Определения и обозначения

Координатная прямая — прямая с началом отсчёта, выбранным положительным направлением и единичным отрезком. Благодаря этому каждой точке сопоставляется число: оно показывает, насколько и в какую сторону точка удалена от начала. Это позволяет сравнивать положения точек и вычислять расстояния.

Координата точки — число, показывающее положение точки на координатной прямой относительно начала отсчёта. Знак числа указывает направление, а модуль — расстояние до начала. Например, координата −3 означает три единицы левее начала.

Прямоугольная система координат — две взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом отсчёта и одинаковой единицей масштаба. Горизонтальную ось называют Ox, вертикальную — Oy. Такая система позволяет задавать положение любой точки плоскости.

Абсцисса и ордината — первая и вторая координаты точки, записанные в виде упорядоченной пары (x; y). Абсцисса x относится к оси Ox, а ордината y — к оси Oy. Порядок записи важен: перестановка чисел обычно задаёт другую точку.

Как это устроено

Чтобы превратить обычную прямую в координатную, сначала выбирают точку O — начало отсчёта. Затем задают направление, которое считают положительным, и отмечают единичный отрезок, например отрезок длины 1. От O откладывают единичные отрезки вправо в положительном направлении и влево в противоположном, поэтому каждому числу соответствует своя точка.

На плоскости одного числа недостаточно: оно показывает положение только вдоль одного направления. Поэтому используют две перпендикулярные оси, имеющие общее начало O. Сначала по абсциссе находят положение точки относительно Ox, затем по ординате — её положение относительно Oy; пересечение соответствующих линий и есть нужная точка.

Оси Ox и Oy делят плоскость на четыре части, называемые координатными четвертями. В первой четверти обе координаты положительны, во второй x отрицательна, а y положительна, в третьей обе отрицательны, в четвёртой x положительна, а y отрицательна. Разные знаки появляются потому, что оси имеют противоположные направления по разные стороны от начала отсчёта.

На прямой расстояние между точками находят как модуль разности координат: AB = |x₂ − x₁|. На плоскости разности абсцисс и ординат образуют катеты прямоугольного треугольника, поэтому по теореме Пифагора AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Середина отрезка равноудалена от концов, поэтому каждая её координата является средним арифметическим соответствующих координат концов.

Координаты на прямой и на плоскости

Таблица помогает выбрать нужную модель: сначала определите, работают ли точки на прямой или на плоскости. Затем найдите строку с требуемой величиной и подставьте координаты, не меняя их порядок. Для плоскости отдельно учитывайте абсциссы и ординаты.

Разбор задач

Задача 1

На координатной прямой отмечены точки A(−3) и B(5). Нужно найти длину AB и координату середины отрезка. Используем формулу расстояния и среднее арифметическое координат концов.

1. Вычислим длину: AB = |5 − (−3)| = |8| = 8.
2. Найдём координату середины: (−3 + 5)/2 = 2/2 = 1.
3. Проверим расположение: число 1 находится между −3 и 5, значит результат согласуется с рисунком на прямой.

Ответ: AB = 8, координата середины равна 1.

Задача 2

Даны A(−2; 4), B(3; 4), C(3; −1). Определим четверти и длины AB и BC. Сначала сравним знаки координат, затем заметим, какая координата не меняется на каждом отрезке.

1. У точки A знаки (−; +), поэтому она во II четверти.
2. У точки B знаки (+; +), поэтому она в I четверти.
3. У точки C знаки (+; −), поэтому она в IV четверти.
4. Для AB ординаты равны, значит отрезок горизонтальный: AB = |3 − (−2)| = 5.
5. Для BC абсциссы равны, значит отрезок вертикальный: BC = |−1 − 4| = 5.

Ответ: A — II четверть, B — I, C — IV; AB = 5, BC = 5.

Задача 3

Точка M — середина отрезка AB, где A(−4; 7), B(6; −3). Требуется найти M и длину AB. Применим формулы по координатам, а затем проверим, что середина действительно расположена между концами.

1. Абсцисса M: (−4 + 6)/2 = 2/2 = 1.
2. Ордината M: (7 + (−3))/2 = 4/2 = 2, поэтому M(1; 2).
3. Разности координат концов равны 6 и −10. Тогда AB = √(6² + (−10)²) = √136 = 2√34.

Ответ: M(1; 2), AB = 2√34.

Типичные ошибки

Путают абсциссу и ординату, записывая координаты в обратном порядке. Так происходит из-за привычки воспринимать пару чисел как неупорядоченную. Проверьте себя: первое число всегда относится к Ox, второе — к Oy.

Забывают учитывать знак координаты и относят точку не в ту четверть. Обычно смотрят только на одну координату или игнорируют минус перед числом. Выпишите знаки обеих координат и сравните их с четырьмя комбинациями четвертей.

Находят расстояние как разность координат без модуля. При таком вычислении ответ может получиться отрицательным, хотя длина отрезка отрицательной быть не может. Используйте модуль на прямой, а на плоскости — формулу с квадратами разностей.

Неправильно выбирают масштаб или начало отсчёта при построении. Ошибка появляется, если единичные отрезки имеют разную длину или отметки наносят без единого начала. Перед построением явно отметьте O, положительное направление и одинаковый единичный отрезок.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны числовая прямая, положительные и отрицательные числа, модуль числа и формула расстояния на прямой. Для расстояния на плоскости используется теорема Пифагора. Эти знания объясняют смысл формул, а не только помогают подставлять числа.

Координаты необходимы при построении и исследовании графиков функций. По координатам можно проверять, принадлежит ли точка графику, и решать уравнения или неравенства графическим способом.

Дальше координатный метод используется в аналитической геометрии и при изучении векторов. С его помощью выводят уравнения прямых и окружностей и находят их взаимное положение.

Что запомнить

• Координатная прямая задаётся началом отсчёта, направлением и единичным отрезком.
• Координата точки на прямой — единственное число.
• Координаты точки на плоскости записываются парой (x; y).
• Абсцисса — первая координата, ордината — вторая.
• Расстояние между точками на прямой равно модулю разности их координат.
• Координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат его концов.
• Знаки координат определяют координатную четверть точки.