1. Величина направленного отрезка

Определения и обозначения

Направленный отрезок AB — это отрезок с указанным началом A и концом B. Его направление задаётся переходом от A к B, поэтому AB и BA — разные направленные отрезки. Такое обозначение нужно, чтобы учитывать не только расположение точек, но и направление движения между ними.

Величина направленного отрезка AB — число, равное разности координаты конца и координаты начала: AB = xB − xA. Если A(a), а B(b), то AB = b − a. Эта величина позволяет описывать перемещение с помощью обычных чисел.

Положительное направление координатной оси — выбранное направление отсчёта, обычно направо на горизонтальной оси. Знак величины отрезка сравнивает движение от начала к концу с этим направлением. Поэтому один и тот же отрезок при другом порядке концов получает противоположный знак.

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу измерения координат. С его помощью определяют, сколько единиц отделяет точку от начала отсчёта. Без выбранного единичного отрезка координаты нельзя было бы выражать численно.

Как это устроено

Чтобы приписать точкам координаты, на прямой выбирают начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. Началу отсчёта присваивают координату 0, а остальные точки получают числа в зависимости от положения и расстояния до него. Точки справа от начала при выбранном направлении имеют положительные координаты, а точки слева — отрицательные.

Формула AB = xB − xA появляется из самого смысла изменения координаты. Если координата была xA, а после движения стала xB, то изменение равно конечному значению минус начальному. Например, переход от −2 к 5 изменяет координату на 5 − (−2) = 7.

Знак величины показывает направление движения, потому что координата возрастает при движении в положительном направлении оси. Если конец расположен дальше по положительному направлению, разность xB − xA положительна. При движении в обратную сторону конечная координата меньше начальной, и разность становится отрицательной.

При замене AB на BA начало и конец меняются местами, поэтому BA = xA − xB = −(xB − xA) = −AB. Это объясняет, почему нельзя считать AB и BA одинаковыми величинами. Если точки совпадают, разность их координат равна xA − xA = 0, значит, величина направленного отрезка равна нулю.

Для последовательных отрезков переход от A к B, а затем от B к C складывается в общий переход от A к C. Действительно, AB + BC = (xB − xA) + (xC − xB), и средние координаты сокращаются. Остаётся xC − xA, то есть AC.

Основные свойства величины направленного отрезка

Сначала определите, какие точки являются началом и концом, а затем подставьте их координаты в нужную формулу. Если требуется обычная длина, возьмите модуль величины направленного отрезка. Для проверки знака представьте, в какую сторону направлено движение по оси.

Разбор задач

Задача 1

На координатной оси даны точки A(−4) и B(7). Нужно найти величины направленных отрезков AB и BA.

1. Для AB началом является A, а концом B, поэтому AB = 7 − (−4) = 11.
2. Для BA начало и конец поменялись местами: BA = −4 − 7 = −11.
3. Проверяем результат: значения противоположны, то есть BA = −AB.

Ответ: AB = 11, BA = −11. Переход от −4 к 7 идёт в положительном направлении, а обратный переход — в отрицательном.

Задача 2

Точка A имеет координату 3, а величина направленного отрезка AB равна −8. Требуется найти координату точки B.

1. Записываем основную формулу: AB = xB − xA.
2. Подставляем известные данные: −8 = xB − 3.
3. Прибавляем 3 к обеим частям: xB = −8 + 3 = −5.

Ответ: координата точки B равна −5. Отрицательный знак величины показывает, что из точки A двигались против положительного направления оси.

Задача 3

Точки A, B и C находятся на одной координатной оси, причём AB = −5 и BC = 12. Нужно найти AC и описать расположение точек.

1. Отрезки последовательны, поэтому используем правило сложения: AC = AB + BC.
2. Подставляем значения: AC = −5 + 12 = 7.
3. Положительный результат означает, что общий переход от A к C направлен в положительную сторону.

Ответ: AC = 7. При движении от A к B точка смещается на 5 единиц назад, затем от B к C — на 12 единиц вперёд; итоговое положение C находится на 7 единиц в положительном направлении от A. Точка B расположена между A и C, поскольку данные отрезки заданы последовательно.

Типичные ошибки

Неправильный порядок вычитания. Иногда записывают xA − xB, хотя для AB нужна разность xB − xA. Проверяйте себя вопросом: какая точка является концом и в какую сторону идёт движение?

Считают величину всегда положительной. Так происходит из-за смешения величины направленного отрезка с обычной длиной. Если движение идёт против положительного направления, результат должен быть отрицательным.

Записывают AB = BA. У этих обозначений разные начала и концы, поэтому направления противоположны. Повторная проверка формулой даст BA = −AB.

Складывают обычные длины вместо направленных величин. При последовательном движении одно перемещение может компенсировать другое, поэтому нужно складывать числа со знаками. После вычисления проверьте результат по общему направлению движения.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать координатную прямую, начало отсчёта, положительное и отрицательное направления, координаты точек и действия с положительными и отрицательными числами. Эти знания позволяют правильно читать знак величины.

Величина направленного отрезка подготавливает изучение векторов и координатного метода в геометрии. Вектор также характеризуется направлением и величиной, поэтому правила работы с направленными отрезками становятся важной основой.

Эти величины применяются при выводе формулы расстояния, координат середины отрезка и решении задач на движение. Они помогают описывать не только положение тела, но и изменение его координаты.

Что запомнить

• Величина направленного отрезка AB равна координате конца минус координата начала: AB = xB − xA.
• Знак величины показывает направление движения относительно положительного направления оси.
• При перестановке концов знак меняется: BA = −AB.
• Если концы совпадают, величина направленного отрезка равна нулю.
• Величины последовательных направленных отрезков складываются: AB + BC = AC.
• Обычная длина отрезка равна модулю его величины: |AB|.