2. Координаты на прямой линии

Определения и обозначения

Координатная прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. Обычная прямая превращается в удобную числовую шкалу. По ней можно не только изображать числа, но и выполнять геометрические рассуждения.

Начало отсчёта — точка, которой присваивается координата 0. Обычно её обозначают буквой O. От неё ведут отсчёт в обе стороны и сравнивают положение остальных точек.

Единичный отрезок — отрезок, задающий масштаб и соответствующий одной единице длины. На прямой откладывают равные отрезки такой длины, чтобы отмечать целые числа. Без выбранного масштаба нельзя правильно определить координату точки по рисунку.

Координата точки — действительное число, показывающее положение точки на координатной прямой. Её записывают рядом с обозначением точки, например A(−3). Координата сообщает и расстояние от начала отсчёта в единицах, и сторону, на которой расположена точка.

Как это устроено

Чтобы построить координатную прямую, сначала выбирают точку O и считают её началом отсчёта. Затем отмечают единичный отрезок, например отрезок длины 1, и задают направление, которое считают положительным. Если двигаться в этом направлении, координаты увеличиваются, а в противоположном направлении — уменьшаются.

После выбора масштаба каждое действительное число можно отложить на прямой. Число 3 отмечают, отступив от O три единичных отрезка вправо, а число −2 — два таких отрезка влево. Обратно, для любой точки можно измерить её смещение от O с учётом направления и получить число, поэтому соответствие между точками и действительными числами взаимно однозначно.

Знак координаты определяется положением точки относительно O. Точки справа от начала отсчёта имеют положительные координаты, точки слева — отрицательные, а сама точка O имеет координату 0. Знак показывает направление от начала, поэтому отрицательное число не означает отрицательное расстояние.

Пусть точки имеют координаты x₁ и x₂. Разность x₂ − x₁ показывает направленное изменение при переходе от первой точки ко второй, но она может быть отрицательной, если движение идёт влево. Обычное расстояние не зависит от выбранного направления, поэтому берут модуль: |x₂ − x₁|.

Середина отрезка расположена между его концами на одинаковом расстоянии от каждого из них. Координата, одинаково удалённая от x₁ и x₂, получается усреднением этих чисел: (x₁ + x₂) / 2. Формула работает и тогда, когда концы находятся по разные стороны от начала отсчёта, потому что учитываются сами координаты вместе с их знаками.

Основные зависимости на координатной прямой

В таблице собраны основные объекты и формулы, которые используются при работе с координатной прямой. Сначала определите, что именно требуется найти, затем выберите соответствующую строку. Особенно важно отличать обычное расстояние от направленного отрезка: первое неотрицательно, а второе сохраняет знак.

Разбор задач

Расстояние между точками

Условие. На координатной прямой отмечены точки A(−3) и B(5). Найдите длину отрезка AB. Требуется именно длина, поэтому результат должен быть неотрицательным.

1. Обозначим координаты концов: x₁ = −3 и x₂ = 5.
2. Применим формулу расстояния и вычтем координату первой точки из координаты второй: |x₂ − x₁| = |5 − (−3)|.
3. Учтём, что вычитание отрицательного числа превращается в сложение: |5 + 3| = 8.

Ответ: длина отрезка AB равна 8.

Координата середины

Условие. Точка M — середина отрезка с концами A(−7) и B(3). Найдите координату M. Поскольку середина должна быть между −7 и 3, её координата должна попасть в этот промежуток.

1. Запишем координаты концов: x₁ = −7 и x₂ = 3.
2. Найдём их среднее арифметическое: x_M = (−7 + 3) / 2.
3. Вычислим сумму и разделим её на 2: x_M = −4 / 2 = −2.

Ответ: M(−2). Полученное число действительно находится между координатами концов.

Точки на заданном расстоянии

Условие. Найдите все точки, удалённые от A(2) на 5 единиц, и расположите их на координатной прямой. От точки A можно отойти на 5 единиц вправо или на 5 единиц влево, поэтому нужно рассмотреть оба направления.

1. Пусть искомая координата равна x. Условие расстояния записывается уравнением |x − 2| = 5.
2. Если x − 2 = 5, то x = 7; это точка справа от A.
3. Если x − 2 = −5, то x = −3; это точка слева от A.
4. На прямой расположим точки в порядке возрастания координат: −3, 2, 7. Точка A находится посередине и удалена от обеих найденных точек на 5 единиц.

Ответ: точки с координатами −3 и 7.

Типичные ошибки

Расстояние вычисляют как x₂ − x₁ без модуля. Так можно получить отрицательное число, если вторая точка расположена левее первой, хотя длина отрезка отрицательной быть не может. Проверяйте результат модулем и мысленно сравнивайте его с расстоянием на прямой.

Координату путают с расстоянием до начала отсчёта. Например, координата −4 указывает четыре единицы влево, а расстояние до O равно 4. Для проверки отделите знак направления от величины расстояния: последняя равна |x|.

Неверно определяют единичный отрезок и считают деления на рисунке без учёта масштаба. Два соседних деления могут соответствовать не одной, а, например, двум единицам. Сначала найдите, какой длине равен один шаг между отмеченными значениями, и только потом считывайте координату.

Середину находят как разность или как полусумму модулей координат. Это приводит к ошибке, особенно если концы лежат по разные стороны от O, потому что знак координаты нельзя терять. Используйте формулу (x₁ + x₂) / 2 и проверьте, находится ли результат между координатами концов.

Связь с другими темами

Для работы с координатной прямой нужны действительные числа, их сравнение и понятие модуля. Эти знания объясняют порядок точек и формулу расстояния. Координатная прямая особенно полезна при решении уравнений и неравенств с модулем: геометрическое расстояние превращает условие в понятную схему. Позже она станет основой координатной плоскости, изучения функций и аналитической геометрии.

Что запомнить

• Координатная прямая задаётся началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением.
• Начало отсчёта имеет координату 0.
• Справа от начала отсчёта координаты положительны, слева — отрицательны.
• Каждой точке соответствует единственная координата.
• Расстояние между точками равно модулю разности их координат.
• Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов.