3. Координатная плоскость

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя взаимно перпендикулярными координатными осями, началом отсчёта и единичными отрезками. Оси пересекаются в точке O и задают горизонтальное и вертикальное направления. Благодаря этому любую точку можно описать числами.

Прямоугольная система координат — согласованное задание осей Ox и Oy, их положительных направлений, начала O и масштаба. Буква x относится к горизонтальной оси, а y — к вертикальной. Такая система нужна, чтобы разные люди одинаково понимали положение одной и той же точки.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), определяющая положение точки на плоскости. Первое число называют абсциссой, второе — ординатой. Порядок записи показывает, какое число относится к оси Ox, а какое — к оси Oy.

Координатная четверть — одна из четырёх областей плоскости, на которые её делят координатные оси. Четверти нумеруют против часовой стрелки, начиная с области справа и выше начала координат. По знакам координат легко определить, в какой четверти находится точка.

Как это устроено

Каждая координатная ось является числовой прямой со своим нулём, положительным и отрицательным направлениями. Ось Ox располагают горизонтально, а Oy — вертикально, поэтому они пересекаются под прямым углом. Такое расположение позволяет независимо измерять, насколько точка удалена вправо или влево и вверх или вниз.

Одного числа для описания точки недостаточно: оно укажет положение только на одной оси. Абсцисса x задаёт горизонтальное смещение от оси Oy, а ордината y — вертикальное смещение от оси Ox. Поэтому положение точки определяется именно парой чисел.

Чтобы построить точку (x; y), сначала найдите на оси Ox число x, учитывая его знак. Затем найдите на оси Oy число y. Через эти два места проведите мысленно или на чертеже прямые, параллельные противоположным осям; их пересечение даст нужную точку.

Порядок координат нельзя менять, потому что каждая позиция имеет своё назначение. Например, точка (2; 3) находится на два единичных отрезка правее оси Oy и на три выше оси Ox, а точка (3; 2) — на три вправо и на два вверх. Это разные положения, если только числа не совпадают.

Знаки координат показывают направление от начала отсчёта. Положительный x означает положение справа от Oy, отрицательный x — слева, положительный y — выше Ox, отрицательный y — ниже. Если координата равна нулю, точка оказывается на соответствующей оси, поэтому к четвертям её не относят.

Координатные оси, начало координат и четверти

Для определения положения точки сначала проверьте, не равна ли нулю какая-либо координата. Если нулей нет, сравните знаки x и y с таблицей. При построении удобно сначала работать с осью Ox, затем с осью Oy.

Разбор задач

Задача 1

Отметить точки A(2; −3), B(−1; 4), C(−3; −2) и указать четверть каждой точки. Сначала определим знаки координат, а затем сопоставим их с четвертями. Так мы не перепутаем направление построения и номер области.

1. У точки A координаты имеют знаки (+; −), поэтому она находится в IV четверти.
2. У точки B знаки (−; +), поэтому она находится во II четверти.
3. У точки C знаки (−; −), поэтому она находится в III четверти.

Для построения A отложите 2 вправо и 3 вниз, для B — 1 влево и 4 вверх, для C — 3 влево и 2 вниз. Ответ: A — IV четверть, B — II четверть, C — III четверть.

Задача 2

Точка M(a; −5) лежит в IV четверти. Требуется найти условие для a и выяснить, где окажется точка при a = 0. В IV четверти абсцисса положительна, а ордината отрицательна.

1. Сравниваем координаты M(a; −5) со знаками IV четверти: x > 0, y < 0.
2. Ордината уже подходит, потому что −5 < 0.
3. Для абсциссы получаем условие a > 0.
4. При a = 0 первая координата становится нулевой, поэтому точка перемещается на ось Oy.

Ответ: a > 0; при a = 0 точка M(0; −5) лежит на отрицательной полуоси Oy, а не в четверти. Нулевая координата исключает принадлежность к любой четверти.

Задача 3

Для точки A(−2; 3) построить точки, симметричные ей относительно Ox, Oy и начала координат. При отражении относительно оси Ox расстояние по горизонтали сохраняется, а вертикальное направление меняется. Аналогично, отражение относительно Oy меняет только горизонтальное направление.

1. Относительно Ox меняем знак y: A₁(−2; −3).
2. Относительно Oy меняем знак x: A₂(2; 3).
3. Относительно начала координат меняем оба знака: A₃(2; −3).

Ответ: относительно Ox — (−2; −3), относительно Oy — (2; 3), относительно O — (2; −3). Проверка проста: у симметричных точек одинаковы расстояния до соответствующей оси или до начала координат.

Типичные ошибки

Меняют местами абсциссу и ординату, записывая сначала y, а потом x. Так происходит, когда при построении сразу смотрят на вертикальное направление. Проверяйте себя фразой: «сначала вправо или влево по Ox, затем вверх или вниз по Oy».

Неверно определяют четверть из-за ошибки в знаках координат. Например, отрицательный y означает движение вниз, а не влево: направление влево задаёт отрицательный x. Перед ответом выпишите пару знаков и сравните её с четырьмя вариантами.

Считают точки на координатных осях принадлежащими четвертям. Причина ошибки в том, что оси визуально проходят внутри областей, но именно они являются их границами. Если x = 0 или y = 0, назовите ось, а не четверть.

При симметрии относительно начала координат меняют знак только у одной координаты или записывают координаты без скобок. Начало координат меняет направление и по горизонтали, и по вертикали, поэтому меняются оба знака. Для проверки сравните исходную и новую точки: (x; y) переходит в (−x; −y).

Связь с другими темами

До изучения темы нужны числовая прямая, положительные и отрицательные числа, а также понимание упорядоченной пары. Эти знания объясняют направления осей и порядок записи (x; y). Без них трудно правильно строить точки и определять четверти.

Координатная плоскость постоянно используется при построении графиков функций. Каждая точка графика имеет координаты (x; y), связанные формулой функции. По положению точек можно читать значения аргумента и функции.

Дальше координаты понадобятся в аналитической геометрии, при изучении векторов, расстояния между точками и уравнений прямых. Например, уравнения позволяют описывать целые линии через координаты их точек. Поэтому уверенное чтение плоскости станет основой следующих тем.

Что запомнить

• Координатная плоскость образуется двумя взаимно перпендикулярными осями Ox и Oy.
• Координаты точки записывают в порядке (x; y): сначала абсцисса, затем ордината.
• На оси Ox ордината равна нулю, а на оси Oy абсцисса равна нулю.
• Начало координат имеет координаты (0; 0).
• Знаки координат в четвертях идут так: I (+; +), II (−; +), III (−; −), IV (+; −).
• Точка с нулевой координатой лежит на одной из координатных осей, а не в четверти.