§ 1. Рациональные выражения

Определения и обозначения

Рациональное выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Например, (x + 1)/(x − 2) и 3a² − 5a являются рациональными выражениями. Это понятие объединяет разные записи, с которыми выполняют единые правила преобразований.

Рациональная дробь — частное двух многочленов, записанное в виде дроби: P(x)/Q(x). Здесь P(x) — числитель, а Q(x) — знаменатель. Такая запись удобна для сокращения, умножения, деления и приведения нескольких дробей к общему знаменателю.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — все значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Для дроби P(x)/Q(x) нужно исключить значения, при которых Q(x) = 0. ОДЗ показывает, какие подстановки разрешены и какие условия надо сохранить после преобразований.

Тождественное преобразование — преобразование выражения, сохраняющее его значение при всех допустимых значениях переменных. Например, разложение x² − 9 на (x − 3)(x + 3) не меняет значение многочлена. При этом преобразованная запись может иметь дополнительные формальные значения, поэтому исходное ОДЗ не исчезает.

Как это устроено

Рациональное выражение можно представить как отношение двух многочленов, потому что каждое действие над такими выражениями приводит к комбинациям многочленов. Сумму дробей заменяют одной дробью, произведение числителей и знаменателей перемножают, а деление превращают в умножение на обратную дробь. Поэтому удобно сводить выражение к виду P(x)/Q(x), где P и Q — многочлены.

Значения, обращающие знаменатель в ноль, исключают из ОДЗ, потому что деление на ноль не определено. Даже если после преобразования нулевой множитель сократился, исходная дробь всё равно не имела значения в этой точке. Например, дробь (x² − 9)/(x − 3) можно сократить при x ≠ 3, но подставлять x = 3 в исходное выражение нельзя.

Разложение многочлена на множители превращает сложные части дроби в произведение простых множителей. После этого одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сократить. Например, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), поэтому дробь (x² − 9)/(x + 3) при x ≠ −3 превращается в x − 3.

При сложении и вычитании дробей нужен общий знаменатель, потому что складывать можно только доли одной и той же величины. Если знаменатели различны, каждую дробь домножают на недостающий множитель, не меняя её значения. Затем складывают или вычитают только числители, а общий знаменатель оставляют без изменения.

Деление на дробь заменяют умножением на обратную, поскольку произведение дроби и обратной ей дроби равно единице. Так правило a/b : c/d = a/b · d/c позволяет применить обычное умножение. Кроме условия существования обеих дробей, требуется c ≠ 0: делитель не может быть равен нулю.

Действия с рациональными дробями

В таблице сначала указано, какие ограничения нужно установить, а затем — в каком порядке выполнять основные действия. В каждом примере после преобразований проверьте ОДЗ исходной записи и приведите ответ к удобному виду.

Разбор задач

Задача 1

Найти ОДЗ выражения (x + 2)/(x² − 9) и сократить его после разложения знаменателя на множители. Сначала проверяем знаменатель, затем выясняем, есть ли общие множители. В данном примере сокращения не произойдёт, но порядок действий показывает основной приём.

1. x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
2. Приравниваем знаменатель к нулю: x = 3 или x = −3. Значит, ОДЗ: x ≠ 3, x ≠ −3.
3. Числитель x + 2 не совпадает ни с одним множителем знаменателя, поэтому дробь уже несократима.

Ответ: ОДЗ: x ∈ R, x ≠ −3, x ≠ 3; выражение имеет вид (x + 2)/((x − 3)(x + 3)) и дальше не сокращается.

Задача 2

Упростить 1/(x − 2) + 3/(x + 2) и указать ОДЗ. Знаменатели отличаются, поэтому сначала создаём общий знаменатель. После сложения обязательно проверяем, не потерялись ли исходные ограничения.

1. Из знаменателей получаем x ≠ 2 и x ≠ −2.
2. Общий знаменатель равен (x − 2)(x + 2) = x² − 4.
3. Домножаем дроби: 1/(x − 2) = (x + 2)/(x² − 4), а 3/(x + 2) = 3(x − 2)/(x² − 4).
4. Складываем числители: x + 2 + 3x − 6 = 4x − 4 = 4(x − 1).

Ответ: 4(x − 1)/(x² − 4), ОДЗ: x ≠ −2 и x ≠ 2.

Задача 3

Рассмотрим сложное выражение (1/(x − 1) + 1/(x + 1)) : (2x/(x² − 1)) при x = 3. Такой пример объединяет сложение и деление рациональных дробей. Ограничения нужно установить до подстановки числа.

1. Из первых знаменателей получаем x ≠ 1 и x ≠ −1; знаменатель делителя x² − 1 также не должен быть нулём.
2. Делитель 2x/(x² − 1) не может быть нулём, поэтому дополнительно x ≠ 0.
3. Складываем первую часть: 1/(x − 1) + 1/(x + 1) = 2x/(x² − 1).
4. Получаем 2x/(x² − 1) : 2x/(x² − 1) = 1, так как при x = 3 обе дроби определены и делитель не равен нулю.

Ответ: значение выражения при x = 3 равно 1; общие ограничения: x ≠ −1, x ≠ 0, x ≠ 1.

Типичные ошибки

Сокращение отдельных слагаемых. В сумме (x + 2)/x нельзя сокращать x с отдельным слагаемым 2: сокращают только общие множители всей дроби. Разложите числитель и знаменатель на множители и проверьте, действительно ли множитель входит в каждый из них.

Потеря ограничений после сокращения. Из записи (x² − 9)/(x − 3) получают x + 3 и иногда разрешают x = 3. Ошибка возникает потому, что новая запись выглядит проще исходной. Сначала выпишите ОДЗ, а затем переносите его в ответ без изменений.

Сложение числителей и знаменателей. Равенство a/b + c/d = (a + c)/(b + d) неверно, поскольку дроби имеют разные доли. Приведите их к общему знаменателю и складывайте только числители.

Неверное деление дробей. При делении нельзя делить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Замените деление умножением на обратную дробь и проверьте, что делитель существует и не равен нулю.

Связь с другими темами

До изучения рациональных выражений нужны действия с многочленами, разложение на множители, формулы сокращённого умножения и решение простейших уравнений. Эти навыки позволяют находить ОДЗ и упрощать дроби.

Рациональные выражения применяются при преобразовании формул, решении рациональных уравнений и неравенств. Позже они станут основой рациональных функций, исследования их графиков и изучения пределов.

Что запомнить

• Знаменатель рациональной дроби не может быть равен нулю.
• ОДЗ находят до выполнения преобразований.
• Сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя.
• Для сложения и вычитания дробей нужен общий знаменатель.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• После преобразований ограничения исходного выражения сохраняются.
• Рациональное выражение можно привести к отношению двух многочленов.