2.1. Рациональные выражения

Определения и обозначения

Рациональное выражение составлено из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую неотрицательную степень. Например, 3x² − 2x + 1 и (x + 1)/(x − 4) — рациональные выражения. Корень из переменной или переменная в показателе степени не соответствует этому определению. Понимание состава выражения помогает отличить рациональные выражения от других и выбрать подходящие преобразования.

Целое рациональное выражение — рациональное выражение, в котором переменные не стоят в знаменателе. К нему относятся, например, многочлены x² − 5x + 6 и 2a³ + b. Слова «целое» здесь не означают, что результат обязательно будет целым числом. Этот вид удобно распознавать, проверив, не делит ли выражение на выражение с переменной в знаменателе.

Дробное рациональное выражение — рациональное выражение, в знаменателе которого может находиться переменная. Примеры: 1/x и (x + 2)/(x − 3). Такие выражения требуют проверки знаменателя, потому что при некоторых значениях переменной деление окажется невозможным. Поэтому перед преобразованием дробного выражения определяют допустимые значения.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — набор значений переменных, при которых выражение имеет смысл. Например, для 1/(x − 4) допустимы все числа, кроме 4: при x = 4 знаменатель становится нулём. ОДЗ показывает, с какими значениями переменных можно работать в выражении. Её важно учитывать и при упрощении, и при решении уравнений.

Как это устроено

Если переменная стоит в знаменателе, значения переменной ограничиваются условием: знаменатель не должен равняться нулю. Причина проста: деление на ноль не определено, поэтому выражение при таком значении не имеет смысла. Например, в дроби 5/(x − 2) нельзя подставить x = 2, поскольку знаменатель станет нулём. Все остальные значения, для которых знаменатель не обращается в ноль, можно рассматривать.

Чтобы найти ОДЗ дробного выражения, сначала выпишите его знаменатель и приравняйте к нулю. Решите полученное уравнение: его корни будут запрещёнными значениями переменных. Затем исключите эти значения из множества возможных. Например, у дроби (2x + 1)/(x² − 9) знаменатель равен нулю при x² − 9 = 0, то есть при x = −3 или x = 3. Значит, ОДЗ задаётся условием x ≠ −3 и x ≠ 3.

Сокращение дроби допустимо, когда числитель и знаменатель представлены произведениями и у них есть общий множитель. Это следует из свойства дроби: один и тот же ненулевой множитель можно разделить и в числителе, и в знаменателе. Отдельные слагаемые так сократить нельзя, потому что сумма не является множителем произведения. Например, в (x + 2)/x нельзя «убрать x»: числитель — сумма, а не произведение x на другой множитель.

Разложение многочлена на множители помогает увидеть, есть ли у числителя и знаменателя общий множитель. Для этого используют известные формулы и вынесение общего множителя: например, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), а x² + 6x + 9 = (x + 3)². Тогда дробь можно записать как произведение множителей и выполнить допустимое сокращение. После такого преобразования выражение становится проще, но его ОДЗ всё равно нужно сверить с исходной дробью.

Ограничения после преобразования сохраняют, потому что упрощение меняет запись, а не исходное условие, при котором выражение было определено. Например, при сокращении общий множитель может исчезнуть из знаменателя, и новая запись будет определена при дополнительном значении. Однако исходная дробь при этом значении имела нулевой знаменатель, поэтому оно не становится допустимым задним числом. Записывайте ОДЗ до сокращения и указывайте её вместе с упрощённым выражением.

Виды рациональных выражений и ограничения на переменные

Сначала определите, к какому виду относится выражение, а затем найдите все знаменатели. Для каждого знаменателя проверьте, при каких значениях он обращается в ноль. Если дробь преобразована, сверяйте допустимые значения с исходной записью.

Разбор задач

1. Определяем вид выражения

Условие: укажите, какие из выражений 3x² − 2x + 1, (x + 1)/(x − 4), √x являются рациональными, и определите их вид. Для классификации проверим, какими действиями и степенями образовано каждое выражение. Отдельно посмотрим, есть ли переменная в знаменателе.

1. В выражении 3x² − 2x + 1 переменная возведена в целую неотрицательную степень, знаменателя с переменной нет. Это целое рациональное выражение.
2. В дроби (x + 1)/(x − 4) использованы арифметические действия и переменная в знаменателе. Это дробное рациональное выражение, причём x ≠ 4.
3. В √x переменная находится под корнем, то есть выражение содержит степень ½, а она не целая. Поэтому √x не является рациональным выражением.

Ответ: 3x² − 2x + 1 — целое рациональное; (x + 1)/(x − 4) — дробное рациональное; √x — не рациональное выражение.

2. Находим область допустимых значений

Условие: найдите ОДЗ выражения (2x + 1)/(x² − 9). Проверим, при каких значениях знаменатель равен нулю. Числитель не влияет на возможность деления: ограничение определяется знаменателем.

1. Запишем условие для знаменателя: x² − 9 = 0.
2. Разложим разность квадратов: (x − 3)(x + 3) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, поэтому x = 3 или x = −3.
3. Исключим найденные значения, так как при каждом из них знаменатель исходной дроби равен нулю.

Ответ: ОДЗ — все действительные x, для которых x ≠ −3 и x ≠ 3.

3. Упрощаем дробное выражение

Условие: упростите (x² − 9)/(x² + 6x + 9) и укажите ОДЗ. Прежде чем сокращать, выясним, при каких значениях исходный знаменатель равен нулю. Затем разложим числитель и знаменатель на множители и проверим, что именно можно сократить.

1. Находим ограничения: x² + 6x + 9 = (x + 3)². Знаменатель равен нулю при x = −3, поэтому это значение исключаем.
2. Раскладываем числитель как разность квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Получаем дробь ((x − 3)(x + 3))/((x + 3)(x + 3)).
3. Сокращаем общий множитель x + 3. Сокращение допустимо при x ≠ −3, что уже входит в найденную ОДЗ.

Ответ: (x − 3)/(x + 3), при x ≠ −3.

Типичные ошибки

• Не исключать значение, обращающее исходный знаменатель в ноль, — ошибка даже после сокращения дроби. Её допускают, потому что смотрят только на новую запись. Проверка: найдите ОДЗ до преобразования и убедитесь, что она указана в ответе.

• Сокращать отдельные слагаемые в числителе и знаменателе нельзя: сокращению подлежат общие множители. Ошибка возникает, когда сумму принимают за произведение. Проверка: разложите числитель и знаменатель на множители и сокращайте только одинаковые множители целых произведений.

• Если знаменатель разложен на несколько множителей, проверять нужно каждый из них. Иначе можно пропустить значение, при котором один множитель равен нулю. Проверка: запишите уравнение для каждого множителя и объедините все найденные запрещённые значения.

• Наличие переменной само по себе не делает выражение рациональным. Например, √x содержит корень, а xᵐ может содержать переменную в показателе; такие случаи не входят в определение рационального выражения. Проверка: убедитесь, что используются только арифметические действия и целые неотрицательные степени переменных.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными выражениями пригодятся действия с многочленами, разложение на множители и правила работы с дробями. Эти умения позволяют находить знаменатели, преобразовывать выражения и выполнять сокращение без потери смысла. Рациональные выражения встречаются при решении рациональных уравнений и неравенств. В таких задачах ограничения на переменные помогают отсеять значения, при которых исходная запись не определена.

Что запомнить

• Рациональное выражение строится из чисел и переменных арифметическими действиями и целыми неотрицательными степенями.
• В целом рациональном выражении переменная не стоит в знаменателе.
• Знаменатель дробного выражения не может быть равен нулю.
• Область допустимых значений находят по знаменателям исходного выражения.
• Сокращать можно только общие множители.
• Ограничения исходного выражения сохраняются после упрощения.