"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Бином Ньютона помогает быстро раскрывать выражения вида (a + b)ⁿ и находить коэффициенты всех членов многочлена. Эти коэффициенты показывают, сколькими способами можно выбрать нужное число множителей b из n скобок. Формулы суммы и разности степеней позволяют раскладывать aⁿ − bⁿ и, при нечётном n, aⁿ + bⁿ на множители. Главное — правильно определять степени, коэффициенты и чередование знаков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Биномиальный коэффициент C(n, k) — число, стоящее при соответствующем члене разложения (a + b)ⁿ. Он равен числу способов выбрать k элементов из n и вычисляется по формуле C(n, k) = n!/(k!(n − k)!). Эти коэффициенты нужны, чтобы быстро находить множители многочлена, не раскрывая все скобки вручную.
Бином Ньютона — формула разложения степени суммы: (a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b + … + C(n, n)bⁿ. Она превращает степень двучлена в сумму одночленов. С её помощью удобно находить отдельный член, коэффициент или весь многочлен.
Сумма степеней — выражение aⁿ + bⁿ. На множители вида a + b она раскладывается, когда n нечётно. Это условие позволяет применять специальную формулу и упрощать выражения.
Разность степеней — выражение aⁿ − bⁿ. При любом натуральном n она делится на a − b и раскладывается в произведение разности оснований на многочлен. Для суммы степеней аналогичное разложение существует только при нечётном показателе.
При раскрытии (a + b)ⁿ мы перемножаем n одинаковых скобок. Чтобы получить aⁿ⁻ᵏbᵏ, нужно в k скобках выбрать b, а в остальных n − k скобках выбрать a. Число таких выборов равно C(n, k), поэтому именно этот коэффициент появляется перед членом.
Общий член разложения имеет вид C(n, k)aⁿ⁻ᵏbᵏ, где k принимает значения от 0 до n. По k сразу определяются степени: у a показатель n − k, у b показатель k, а коэффициент равен C(n, k). Сумма показателей в каждом члене равна n, потому что из каждой из n скобок выбирается ровно один множитель.
Коэффициенты симметричны: C(n, k) = C(n, n − k). Причина в том, что выбор k элементов однозначно задаёт выбор остальных n − k элементов, которые в него не попали. Поэтому крайние члены имеют коэффициенты 1, а члены, равноудалённые от краёв, получают одинаковые коэффициенты.
Формулы степеней можно получить подбором множителя и проверкой раскрытием скобок. Если вынести a − b из aⁿ − bⁿ, соседние слагаемые после умножения сокращаются, и остаются только крайние aⁿ и −bⁿ. Для суммы при нечётном n берут множитель a + b, а чередующиеся знаки в частном обеспечивают такое же взаимное уничтожение смешанных слагаемых.
Делимость aⁿ − bⁿ на a − b следует также из подстановки a = b: исходное выражение становится нулём. При нечётном n подстановка a = −b обращает aⁿ + bⁿ в ноль, поэтому выражение делится на a + b. Проверяя знаки, раскройте произведение и убедитесь, что внутренние слагаемые попарно уничтожаются.
Таблица помогает сначала определить вид выражения и условие для применения формулы. В разности степеней знаки в скобках положительные, а в сумме нечётных степеней они чередуются. Если показатель суммы чётный, формулу с множителем a + b применять нельзя.
| Выражение | Условие | Разложение на множители |
|---|---|---|
| aⁿ − bⁿ | n — натуральное число | (a − b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹) |
| aⁿ + bⁿ | n — нечётное натуральное число | (a + b)(aⁿ⁻¹ − aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b² − … + bⁿ⁻¹) |
| aⁿ + bⁿ | n — чётное натуральное число | Над действительными коэффициентами в общем случае не раскладывается на множители вида a + b |
Чтобы воспользоваться первой формулой, найдите основания a и b и их показатель n. Для суммы сначала проверьте нечётность n, затем выписывайте степени a и b, уменьшая показатель a на единицу и увеличивая показатель b на единицу.
Здесь n = 4, a = x, b = 2. Коэффициенты четвёртой строки бинома равны 1, 4, 6, 4, 1, поэтому остаётся подставить степени x и числа 2.
Ответ: (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
Число 32 можно представить как 2⁵, поэтому выражение является разностью пятых степеней. Берём a = x, b = 2 и применяем формулу разности степеней.
Ответ: x⁵ − 32 = (x − 2)(x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 16).
Показатель 7 нечётный, значит сумма делится на 3 + x. Удобнее взять a = x и b = 3, чтобы первый множитель записывался как x + 3.
Ответ: 3⁷ + x⁷ = (x + 3)(x⁶ − 3x⁵ + 9x⁴ − 27x³ + 81x² − 243x + 729).
Ошибка — считать C(n, k) равным k или n − k. Так делают, потому что буква k связана с номером члена, но коэффициент является числом сочетаний. Проверяйте его по формуле или по треугольнику Паскаля.
Ошибка — неверно расставлять степени в общем члене. У выражения C(n, k)aⁿ⁻ᵏbᵏ показатели a и b должны в сумме давать n. Если это не так, выбранный член записан неправильно.
Ошибка — применять разложение aⁿ + bⁿ при чётном n. Делимость на a + b гарантирована только для нечётного показателя, поскольку при a = −b сумма чётных степеней не обращается в ноль. Перед применением формулы проверьте чётность n.
Ошибка — нарушать чередование знаков в сумме нечётных степеней. Из-за этого смешанные слагаемые при раскрытии не уничтожаются. Раскройте первые и последние несколько произведений и проверьте попарное сокращение.
Для бинома Ньютона нужны правила умножения многочленов и свойства степеней. Формулы сокращённого умножения помогают узнавать частные случаи разложения и проверять результат.
Бином пригодится при раскрытии скобок и нахождении коэффициентов многочленов. Разложения суммы и разности степеней применяются при упрощении выражений, сокращении дробей и решении уравнений.
Как найти коэффициент при заданном члене разложения бинома?
Запишите общий член C(n, k)aⁿ⁻ᵏbᵏ и определите k по нужной степени b. Затем вычислите C(n, k) по формуле или найдите его в треугольнике Паскаля.
Почему коэффициенты бинома симметричны?
Выбрать k элементов из n — то же самое, что выбрать n − k элементов, которые не войдут в выборку. Поэтому C(n, k) = C(n, n − k), а коэффициенты в начале и конце строки разложения совпадают.
Как быстро разложить выражение вида aⁿ − bⁿ?
Вынесите множитель a − b, а в скобках запишите сумму всех произведений aⁿ⁻¹, aⁿ⁻²b, …, bⁿ⁻¹. Знаки в этой формуле всегда положительные.
При какой степени сумма aⁿ + bⁿ делится на a + b?
Это верно при нечётном натуральном n. В разложении на множители знаки в скобках чередуются, начиная с плюса.
Как проверить, что в разложении суммы степеней не перепутаны знаки?
Раскройте скобки и сгруппируйте смешанные слагаемые. Они должны попарно уничтожиться, а остаться должны только aⁿ и bⁿ с нужными знаками.
2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней
