§ 2. Рациональные уравнения и неравенства

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная входит в числитель или знаменатель рациональных дробей. Например, в уравнении (x + 1)/(x − 2) = 0 знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому x ≠ 2. Это ограничение нужно учитывать, чтобы не получить значение, при котором исходное уравнение не имеет смысла.

Рациональное неравенство — неравенство, содержащее рациональные дроби, например (x − 1)/(x + 3) > 0. Нужно учитывать не только сравнение выражений, но и значения переменной, при которых знаменатели обращаются в ноль. Решение показывает, на каких промежутках неравенство верно.

Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений переменной, при которых все выражения уравнения или неравенства определены. Для дробей это означает, что ни один знаменатель не равен нулю. ОДЗ помогает отсеять запрещённые значения до вычислений и проверить ответ после них.

Метод интервалов — способ выяснить знак рационального выражения на промежутках, разделённых его нулями и точками, где оно не определено. Эти точки отмечают на числовой прямой и определяют знак выражения между ними. Метод нужен, чтобы выбрать именно те промежутки, где выполняется заданное неравенство.

Как это устроено

Сначала находят ОДЗ, потому что знаменатель может стать нулём при отдельных значениях переменной. Если умножить обе части уравнения на такой знаменатель, преобразование затронет значение, при котором исходное выражение не существует. В результате можно получить корень, не подходящий исходной задаче. Поэтому ограничения записывают до любых преобразований и сохраняют до проверки ответа.

Чтобы избавиться от дробей в уравнении, находят общий знаменатель всех дробей. Затем обе части умножают на него и решают получившееся уравнение без знаменателей. Такое умножение удобно, потому что общий знаменатель устраняет дробные слагаемые, но допустимо оно только при учёте ОДЗ. Найденные корни подставляют в ограничения и исключают запрещённые.

При решении неравенства сначала переносят все слагаемые в одну часть, чтобы сравнивать одно выражение с нулём. Затем дроби приводят к общему знаменателю и раскладывают числитель и знаменатель на множители, если это возможно. После этого находят точки, где числитель или знаменатель равен нулю. Они разделяют числовую прямую на промежутки, на которых знак выражения не меняется без прохождения критической точки.

На прямую наносят и нули числителя, и нули знаменателя, потому что они играют разные роли. В нуле числителя дробь может стать равной нулю, поэтому такая точка подходит для нестрогого неравенства, если знаменатель там не равен нулю. В нуле знаменателя выражение не определено, так что точку всегда исключают. Если пропустить её на схеме, границы промежутков и ответ могут оказаться неверными.

Чтобы определить знак на промежутках, можно выбрать по одной пробной точке и подставить её в выражение. Другой способ — начать со знака на крайнем промежутке и проследить, меняется ли знак при переходе через каждую критическую точку. Для множителя, который обращается в ноль в нечётной степени, знак меняется; при чётной степени — нет. В ответ включают промежутки с нужным знаком и отдельно проверяют, какие граничные точки допустимы.

Сравнение решения рационального уравнения и неравенства

Сравнивай этапы, чтобы не переносить способ проверки уравнения на неравенство: во втором случае обычно требуется выбрать целые промежутки. В обеих задачах сначала находят ОДЗ. Затем обрати внимание на граничные точки: их включение зависит от того, обращается ли в ноль числитель или знаменатель.

Разбор задач

1. Решить уравнение (x + 1)/(x − 2) = 0

1. Знаменатель не должен обращаться в ноль, значит, x − 2 ≠ 0 и x ≠ 2.
2. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решаем x + 1 = 0 и получаем x = −1.
3. Проверяем ограничение: −1 ≠ 2, поэтому значение допустимо.

Ответ: x = −1. Здесь не нужно приравнивать знаменатель к нулю: это запрещённое значение, а не корень уравнения.

2. Решить уравнение 1/x + 1/(x − 1) = 3

1. Записываем ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ 1. Общий знаменатель дробей — x(x − 1).
2. Умножаем обе части уравнения на x(x − 1): (x − 1) + x = 3x(x − 1). Преобразуем: 2x − 1 = 3x² − 3x, то есть 3x² − 5x + 1 = 0.
3. Находим корни квадратного уравнения: D = 25 − 12 = 13, поэтому x = (5 ± √13)/6.
4. Ни один из корней не равен 0 или 1, значит, оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x = (5 − √13)/6 или x = (5 + √13)/6. Проверка ограничений необходима, поскольку уравнение без знаменателей могло бы дать недопустимое значение.

3. Решить неравенство (x − 2)(x + 1)/(x − 3) ≥ 0

1. Находим критические точки. Нули числителя: x = −1 и x = 2; ноль знаменателя: x = 3, поэтому x ≠ 3.
2. Располагаем точки по возрастанию: −1, 2, 3. Они делят прямую на промежутки (−∞; −1), (−1; 2), (2; 3) и (3; +∞).
3. Проверяем знаки. Например, при x = 4 выражение положительно. Все три линейных множителя имеют нечётную степень, поэтому знак меняется при переходе через каждую точку; справа налево получаем знаки +, −, +, −.
4. Для знака ≥ 0 выбираем промежутки с плюсом и включаем нули числителя −1 и 2. Точку 3 исключаем, так как там знаменатель равен нулю.

Ответ: [−1; 2] ∪ (3; +∞). Скобки у 3 круглые, потому что выражение в этой точке не определено.

Типичные ошибки

• Не записывают ОДЗ до умножения на общий знаменатель. Тогда значение, при котором дробь не существует, может появиться среди корней полученного уравнения. Ошибка возникает из-за того, что преобразование без дробей кажется полностью равносильным исходному. Проверь себя: подставь каждый кандидат в ограничения на знаменатели.

• Сокращают дробь и забывают о сокращённом множителе. Например, после сокращения выражения (x − 1)/(x − 1) получается 1, но исходная дробь всё ещё не определена при x = 1. Это упускают, потому что множитель исчезает из записи. Сверь ОДЗ с исходным выражением, а не только с сокращённым.

• Включают ноль знаменателя в ответ неравенства. Даже если знак нестрогий и точка отмечена на границе подходящего промежутка, исходная дробь в ней не существует. Чтобы проверить границу, отдельно подставь её в знаменатель. Если он равен нулю, точка должна быть исключена.

• Не отмечают нули знаменателя в методе интервалов. Тогда пропускают границу, через которую выражение может быть не определено, и неверно расставляют знаки. Обычно это происходит, когда смотрят только на числитель. Перед выбором промежутков найди нули и числителя, и знаменателя, а затем сравни список с ОДЗ.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны действия с алгебраическими дробями, разложение многочленов на множители и умение находить область определения выражения. При решении уравнений используются навыки решения линейных и квадратных уравнений. Для неравенств пригодятся сравнение чисел и изображение промежутков на числовой прямой. Позже рациональные уравнения и неравенства помогут работать с дробно-рациональными функциями, исследовать их область определения и определять, где функция положительна или отрицательна.

Что запомнить

• Знаменатель рациональной дроби не может быть равен нулю.
• Ограничения на переменную записывают до преобразований.
• После решения рационального уравнения проверяют корни по области допустимых значений.
• Нули числителя могут быть решениями неравенства, если знак нестрогий.
• Нули знаменателя никогда не входят в ответ.
• В методе интервалов учитывают и нули числителя, и нули знаменателя.