"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Рациональное выражение составляют из чисел и переменных с помощью арифметических действий и целых неотрицательных степеней. Его часто можно записать как дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены. Главное при работе с такой дробью — помнить, что знаменатель не должен быть нулём. Поэтому сначала находят область допустимых значений (ОДЗ), а при упрощении сохраняют все ограничения исходной записи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую неотрицательную степень. Например, 2x² − 1 и (x + 1)/x — рациональные выражения. Это понятие помогает определить, какие выражения можно преобразовывать с помощью правил алгебры.
Рациональная дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Многочлен — сумма одночленов, например x² − 4 или 3x + 1. Знаменатель такой дроби не должен равняться нулю, иначе дробь не определена.
Допустимые значения переменных — значения, при которых выражение имеет смысл. У дроби нужно проверить, не обращают ли они знаменатель в нуль. Это позволяет заранее понять, какие значения можно подставлять и при каких условиях преобразования верны.
Область допустимых значений (ОДЗ) — множество всех допустимых значений переменных выражения. Для дроби ОДЗ получают, исключая значения, при которых знаменатель равен нулю. Запись ОДЗ важна и после упрощения дроби: исходные ограничения остаются в силе.
Рациональное выражение нередко удаётся представить одной дробью, числитель и знаменатель которой — многочлены. Например, сумма 1/x + 2 при общем знаменателе записывается как (1 + 2x)/x. Общий знаменатель позволяет объединять дроби, а свойства арифметических действий — преобразовывать полученную запись. При этом исходные знаменатели уже могут задавать ограничения, поэтому их нельзя забывать.
Знаменатель рациональной дроби не может быть равен нулю, потому что деление на нуль не определено. Значит, переменная не может принимать значения, при которых знаменатель обращается в нуль. Так, в дроби 5/(x − 3) нельзя подставить x = 3: знаменатель станет равен нулю. Остальные значения переменной допустимы, если других знаменателей в выражении нет.
Чтобы найти ОДЗ, сначала выписывают знаменатель и приравнивают его к нулю. Затем решают полученное уравнение, а найденные корни исключают из допустимых значений. Если знаменатель имеет несколько корней, исключить нужно каждый из них. Разложение многочлена на множители помогает увидеть все корни и не пропустить ограничение.
Умножение или деление числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой многочлен сохраняет значение дроби: фактически дробь умножают или делят на единицу. Но это верно только там, где исходная дробь и дополнительный множитель имеют смысл, а делитель не равен нулю. Поэтому преобразование не разрешает подставить значение, которое запрещено исходной записью. Сначала учитывают ограничения, а затем выполняют преобразование.
При сокращении общий множитель числителя и знаменателя исчезает из записи, но запрет, связанный с ним, не исчезает. Например, в (x² − 4)/(x − 2) при x = 2 исходный знаменатель равен нулю. После разложения числителя и сокращения получается x + 2, но это упрощённое выражение описывает исходную дробь только при x ≠ 2. Поэтому ОДЗ фиксируют до сокращения и сохраняют после него.
| Что рассматриваем | Как определить | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Рациональное выражение | Проверить, составлено ли оно из чисел и переменных с помощью арифметических действий и целых неотрицательных степеней | Выражение может быть записано не только в виде одной дроби |
| Рациональная дробь | Убедиться, что числитель и знаменатель — многочлены | Знаменатель не должен быть нулём |
| Знаменатель | Приравнять его к нулю и решить уравнение | Все полученные корни запрещены |
| ОДЗ | Исключить из возможных значений корни знаменателя | Учитывать исходную запись выражения |
| Ограничения после упрощения | Сохранить ОДЗ, найденную до преобразований | Сокращение не возвращает запрещённые значения |
Сначала определи, где выражение имеет смысл, а затем выполняй преобразования. В таблице можно сверить и способ нахождения ОДЗ, и правило о сохранении ограничений после упрощения.
Задача 1. Найти ОДЗ выражения 5/(x − 3). Здесь переменная стоит в знаменателе, поэтому нужно выяснить, при каком значении знаменатель становится нулём. Это значение будет исключено, а остальные числа подойдут.
Ответ: ОДЗ — все значения x, кроме 3. Проверка проста: при любом другом значении знаменатель x − 3 не равен нулю.
Задача 2. Найти ОДЗ выражения (x + 2)/(x² − 9). Знаменатель является разностью квадратов, поэтому его удобно разложить на множители. Нулём произведение станет, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Ответ: ОДЗ — все значения x, кроме 3 и −3. Подстановка каждого исключённого числа действительно обращает знаменатель в нуль.
Задача 3. Найти ОДЗ и упростить выражение (x² − 4)/(x − 2). Начинать нужно с исходного знаменателя: если сначала сократить дробь, ограничение может стать незаметным. После этого разложим числитель и сократим общий множитель, не меняя найденную ОДЗ.
Ответ: ОДЗ — x ≠ 2; упрощённое выражение — x + 2 при x ≠ 2. Значение 2 нельзя вернуть: в исходной дроби при нём знаменатель равен нулю.
Считать, что знаменатель может быть равен нулю. Ошибка возникает, если воспринимать дробь как обычную запись, не проверяя деление. Но деление на нуль не определено, поэтому при нулевом знаменателе выражение не имеет смысла. Проверь себя: подставь подозрительное значение именно в исходный знаменатель.
Находить ОДЗ только по знаменателю после сокращения. После сокращения ограничивающий множитель может пропасть, и кажется, что запрещённое значение стало допустимым. Однако область определения исходного выражения от упрощения не расширяется. Сравни ОДЗ до и после преобразований: итоговое ограничение должно сохранить все исходные запреты.
Сокращать отдельные слагаемые числителя и знаменателя. Так поступают, когда путают слагаемые с множителями, например пытаются убрать одинаковую букву из суммы. Сокращение допустимо только для общих множителей всей дроби. Перед сокращением разложи числитель и знаменатель на множители и проверь, что убираешь именно общий множитель.
Не разложить знаменатель на множители или проверить не все корни. Если оставить многочлен без разложения, можно заметить лишь часть значений, обращающих его в нуль. Ошибка появляется из-за спешки при решении уравнения. Реши уравнение для всего знаменателя и подставь найденные корни обратно для проверки.
Для работы с рациональными выражениями нужно уметь выполнять действия с многочленами, раскладывать многочлены на множители и решать простейшие уравнения. Эти навыки помогают находить корни знаменателя, определять ОДЗ и сокращать дроби. Если какой-то шаг вызывает затруднение, полезно сначала повторить соответствующее действие с многочленами.
Понятия рационального выражения и ОДЗ понадобятся при преобразовании рациональных дробей, решении рациональных уравнений и неравенств. В этих задачах ограничения помогают не включить значения, при которых исходная запись не имеет смысла. Поэтому ОДЗ учитывают не только при вычислениях, но и при проверке полученных ответов.
Чем рациональное выражение отличается от рациональной дроби?
Рациональное выражение — более широкое понятие: это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью разрешённых арифметических действий и целых неотрицательных степеней. Рациональная дробь — запись в виде дроби, где числитель и знаменатель являются многочленами.
Как быстро найти ОДЗ дроби?
Приравняй знаменатель исходной дроби к нулю и реши уравнение. Все найденные корни исключи из множества возможных значений переменной.
Почему знаменатель не может быть равен нулю?
Деление на нуль не определено: не существует числа, которое при умножении на нуль даст ненулевое число. Поэтому при нулевом знаменателе дробь не имеет смысла.
Можно ли сокращать дробь до нахождения ОДЗ?
Лучше сначала найти ОДЗ по исходной записи. После сокращения множитель, задававший ограничение, может исчезнуть, и тогда легко ошибочно включить запрещённое значение.
Почему после сокращения нельзя включить исключённое значение?
Сокращение упрощает запись, но не меняет область, где было определено исходное выражение. В исключённом значении знаменатель исходной дроби равнялся нулю, поэтому выражение и после упрощения там не определено.
1. Рациональные выражения
